1埼玉医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

問1 は $f'(x)=(x-2)e^{1-x}$、$f''(x)=(3-x)e^{1-x}$。問2 の3曲線はどれも上半円：$C_{1}$ は中心 $\left(\dfrac{1}{2},\,0\right)$ 半径 $\dfrac{3}{2}$、$C_{2}$ は中心 $(0,\,0)$ 半径1、$C_{3}$ は中心 $(1,\,0)$ 半径1。大きい半円から2つの小さい半円の和集合を除いた部分。

問1 $f'(x)=-e^{1-x}-(1-x)e^{1-x}=(x-2)e^{1-x}$ で、$x=2$ の前後で負から正。最小値 $f(2)=-e^{-1}=-\dfrac{1}{e}$。$f''(x)=(3-x)e^{1-x}$ は $x=3$ で符号が変わるので、変曲点は $(3,\,f(3))=\left(3,\,-\dfrac{2}{e^{2}}\right)$。

問2 $C_{1}$：$\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{9}{4}$ の上半分（$-1\leqq x\leqq2$）。$C_{2}$：単位円の上半分（$-1\leqq x\leqq1$）。$C_{3}$：$(x-1)^{2}+y^{2}=1$ の上半分（$0\leqq x\leqq2$）。$C_{1}$ は $C_{2}$・$C_{3}$ と両端 $(-1,\,0)$、$(2,\,0)$ で接し、$C_{2}$ と $C_{3}$ は $\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ で交わる。囲まれる図形は、$C_{1}$ の半円から $C_{2}$・$C_{3}$ の半円の和集合を除いた部分。

$C_{2}$・$C_{3}$ の半円の共通部分は、中心 $(0,\,0)$ の扇形（中心角 $\dfrac{\pi}{3}$）と中心 $(1,\,0)$ の扇形（中心角 $\dfrac{\pi}{3}$）を合わせ、重なる正三角形（頂点 $(0,0),\,(1,0),\,\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$）を1つ引いたものなので
$$\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$$和集合は $\dfrac{\pi}{2}\cdot2-\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}$。よって
$$\dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9\pi}{8}-\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{11\pi-6\sqrt{3}}{24}.$$