2埼玉医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

次の文章を読み、後の問い（問1〜3）の各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。
$$f(x)=x^{3}-\dfrac{4}{3}x$$
とする。

問1 曲線 $y=f(x)$ と $y$ 軸の交点Aにおけるこの曲線の法線の傾きは $\dfrac{\boxed{15}}{\boxed{16}}$ である。

問2 $t\neq0$ とする。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(t,\,f(t))$ における $y=f(x)$ の接線 $l$ がこの曲線と交わる点を $\mathrm{Q}(q,\,f(q))$ とする。ただし、QはPと異なる。このとき、$q=\boxed{17}\boxed{18}t$ である。

問3 Qにおける $y=f(x)$ の接線 $l'$ が $l$ と直交するとき、$t=\pm\dfrac{\sqrt{\boxed{19}\boxed{20}}}{\boxed{21}}$ である。