2岡山大学 2026年 数学 第2問解答・解説

座標平面上を繰り返し運動する点 $P$ について考える。点 $P$ は、はじめに原点 $O(0,0)$ にあるとする。点 $P$ は1回の運動で以下の確率に従って「移動する」または「移動しない」ものとする。
点 $P$ が座標 $(x,y)$ の位置にあるとき、
(a) 移動しない確率は $\dfrac{4}{9}$。
(b) $(x+1,y),\ (x-1,y),\ (x,y+1),\ (x,y-1)$ に移動する確率はそれぞれ $\dfrac{1}{9}$。
(c) $(x+1,y+1),\ (x-1,y+1),\ (x+1,y-1),\ (x-1,y-1)$ に移動する確率はそれぞれ $\dfrac{1}{36}$。
この運動を繰り返す。正の整数 $n$ に対して $n$ 回運動後の点 $P$ の座標を $(x_n,y_n)$ とおく。以下の問いに答えよ。
(1) $|x_1|=1$ かつ $|y_1|=1$ となる確率を求めよ。
(2) $|x_n|=n$ かつ $|y_n|=n$ となる確率を求めよ。
(3) $x_n=n$ となる確率を求めよ。
(4) $|x_n|=n$ または $|y_n|=n$ となる確率を求めよ。