3埼玉医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

次の文章を読み、下の問い（問1〜3）の各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。

図1のような平行な壁に囲まれた直角に曲がる道路を、長さ $\ell$ の細い棒を水平に保ったまま図1の下方から進んで角を曲がり、右方向に運びたい。運ぶことができる $\ell$ の最大値を求めるため、準備として次のような問題（問1、2）を考えた。

（図1：下から上へ進む幅 $1\,\mathrm{m}$ の道路が直角に右へ曲がり、幅 $2\,\mathrm{m}$ の道路になる。図2：$xy$ 平面上で、点 $\mathrm{C}(1,\,0)$ を通る線分ABがあり、Aは $y$ 軸の負の部分、Bは第1象限にある。線分ABと $x$ 軸の正の向きのなす角が $\theta$。）

問1 図2に示すように、点 $\mathrm{C}(1,\,0)$ を通る長さ $\ell$ の線分ABがある。線分の一端Aが $y$ 軸上の負の部分を動くとき、線分と $x$ 軸のなす角を $\theta$ として、Bの $y$ 座標 $d$ を $\theta$ で表すと
$$d=\boxed{19}+\boxed{20}\ell$$
である。$\boxed{19}$、$\boxed{20}$ に入る最も適切なものを、次の①〜⑥のうちからそれぞれ1つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。

① $\sin\theta$　② $\cos\theta$　③ $\tan\theta$　④ $(-\sin\theta)$　⑤ $(-\cos\theta)$　⑥ $(-\tan\theta)$

問2 $\ell=8$ のとき、$d$ の最大値は $\boxed{21}\sqrt{\boxed{22}}$ である。

問3 問1、2の結果を使うと、図1のような道路で下方から右方向に運ぶことのできる棒の長さ $\ell$ の最大値は
$$\left(\boxed{23}+\sqrt[3]{\boxed{24}}\right)^{\frac{\boxed{25}}{\boxed{26}}}\ [\mathrm{m}]$$
である。