2岩手医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$f'(x)$ を和積の公式で積の形にして符号を調べ、極大・極小と端の値を比べる。$t$ の範囲から $\dfrac{t}{6}-x$、$2x-\dfrac{t}{6}$ の範囲を押さえると、$\sin$ の符号はそれぞれの角の符号と同じになる。

(1)

$$f'(x)=3\cos x-3\cos\left(\dfrac{t}{3}-3x\right)=-6\sin\left(\dfrac{t}{6}-x\right)\sin\left(2x-\dfrac{t}{6}\right).$$
$0<x<\dfrac{\pi}{3}$、$0\leqq t\leqq\pi$ のとき $-\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{t}{6}-x<\dfrac{\pi}{6}$、$-\dfrac{\pi}{6}<2x-\dfrac{t}{6}<\dfrac{2\pi}{3}$ だから、$f'(x)=0$ となるのは $x=\dfrac{t}{6}$、$\dfrac{t}{12}$ のときである。よって $\text{ア}=6$、$\text{イウ}=12$。

(2)

$$\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$$

(3)

$t>0$ のとき、上の範囲では $\sin\left(\dfrac{t}{6}-x\right)$ と $\dfrac{t}{6}-x$、$\sin\left(2x-\dfrac{t}{6}\right)$ と $2x-\dfrac{t}{6}$ の符号は同じだから、$f'(x)$ は $0<x<\dfrac{t}{12}$ で正、$\dfrac{t}{12}<x<\dfrac{t}{6}$ で負、$x>\dfrac{t}{6}$ で正である。よって、最大値の候補は $f\left(\dfrac{t}{12}\right)$、$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$、最小値の候補は $f(0)$、$f\left(\dfrac{t}{6}\right)$ で、
$$f\left(\dfrac{t}{12}\right)=3\sin\dfrac{t}{12}+\sin\dfrac{t}{12}=4\sin\dfrac{t}{12},\qquad f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\sin\left(\dfrac{t}{3}-\pi\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\sin\dfrac{t}{3},$$
$$f(0)=\sin\dfrac{t}{3},\qquad f\left(\dfrac{t}{6}\right)=3\sin\dfrac{t}{6}-\sin\dfrac{t}{6}=2\sin\dfrac{t}{6}.$$
(2) より $4\sin\dfrac{t}{12}\leqq 4\sin\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{6}-\sqrt{2}<\sqrt{3}\leqq\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\sin\dfrac{t}{3}$ だから
$$M(t)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\sin\dfrac{t}{3}.$$
また $\sin\dfrac{t}{3}=2\sin\dfrac{t}{6}\cos\dfrac{t}{6}\leqq 2\sin\dfrac{t}{6}$ だから $m(t)=\sin\dfrac{t}{3}$。（$t=0$ のときも、$f(x)=3\sin x-\sin 3x$ で同じ式が成り立つ。）

(4)

$0\leqq\dfrac{t}{3}\leqq\dfrac{\pi}{3}$ だから $0\leqq\sin\dfrac{t}{3}\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。よって $M(t)$ の最大値は $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$（$t=0$）、最小値は $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$（$t=\pi$）。$m(t)$ の最大値は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$（$t=\pi$）、最小値は $0$（$t=0$）である。