2埼玉医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

次の文章を読み、下の問い（問1〜3）の各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。

$x>0$ を定義域とする曲線 $y=f(x)$ 上の、点 $(x,\,y)$ における接線の傾きが $\dfrac{\log x}{x}$ であり、$f(1)=\dfrac{1}{2}$ が成り立つ。

問1 $y=f(x)$ と $y=1$ との2つの交点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha,\,\beta$ とすると、$\alpha=e^{\boxed{8}\boxed{9}}$、$\beta=e^{\boxed{10}}$ である。ただし $\alpha<\beta$ とする。

問2 $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx=\boxed{11}e+\dfrac{\boxed{12}\boxed{13}}{e}$ である。

問3 $y=f(x)$ の接線のうち、$y$ 軸との交点が $(0,\,2)$ であるものの方程式は
$$y=\boxed{14}\boxed{15}ex+\boxed{16}$$
と
$$y=\dfrac{\boxed{17}}{e^{3}}x+\boxed{18}$$
である。