埼玉医科大学 2022年数学第1問解答・解説

1問題

埼玉医科大学2022年度第1問

次の問い（問1、2）の各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。

問1 3次方程式

ax^{3}+(-4a+1)x^{2}+(a+1)x+6a=0

が3つの異なる実数解をもち、そのうちの2つは絶対値が等しいとき、

a=\dfrac{\boxed{1}\boxed{2}}{\boxed{3}}

であり、解は

\pm\boxed{4}

と

\boxed{5}

である。

問2 2つの関数

f(x)

、

g(x)

が

f(x)=3x^{2}+2x-\displaystyle\int_{0}^{3}g(t)\,dt,\qquad g(x)=x^{2}-6x+\int_{1}^{2}f(t)\,dt

を満たすなら、

\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\,dx=\boxed{6},\qquad \int_{0}^{3}g(x)\,dx=\boxed{7}

である。

出典：埼玉医科大学 2022年度前期数学第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問1
$a=-\dfrac{1}{2}$ 、解は $\pm1$ と $6$ （枠1〜5： $-,\,1,\,2,\,1,\,6$ ）
問2
$\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\,dx=7$ 、 $\displaystyle\int_{0}^{3}g(x)\,dx=3$ （枠6・7： $7,\,3$ ）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

問1 は解を

r,\,-r,\,s

とおいて解と係数の関係を使う。問2 は定積分を定数

A,\,B

とおき、連立方程式にする。

解答

問1

a\neq0

。解を

r,\,-r,\,s

（

r\neq0

）とおくと、解と係数の関係より

s=\dfrac{4a-1}{a},\qquad -r^{2}=\dfrac{a+1}{a},\qquad -r^{2}s=-6 .

後の2式から

s=\dfrac{6}{r^{2}}=-\dfrac{6a}{a+1}

。これと1つ目から

-6a^{2}=(4a-1)(a+1)

、

10a^{2}+3a-1=0

、

a=\dfrac{1}{5},\,-\dfrac{1}{2}

。

a=\dfrac{1}{5}

では

r^{2}=-6<0

で不適。

a=-\dfrac{1}{2}

なら

r^{2}=1

、

s=6

。実際、方程式は

-\dfrac{1}{2}(x^{3}-6x^{2}-x+6)=-\dfrac{1}{2}(x-6)(x-1)(x+1)=0

で、解は

\pm1

と

6

。

問2

A=\displaystyle\int_{0}^{3}g(t)\,dt

、

B=\displaystyle\int_{1}^{2}f(t)\,dt

とおくと

f(x)=3x^{2}+2x-A

、

g(x)=x^{2}-6x+B

。

B=\displaystyle\int_{1}^{2}(3x^{2}+2x)\,dx-A=10-A,\qquad A=\int_{0}^{3}(x^{2}-6x)\,dx+3B=-18+3B .

よって

A=-18+3(10-A)

、

A=3

、

B=7

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

解と係数の関係
定積分を定数とおく

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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