2大阪公立大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)

全事象は $6^n$ 通りである。$n$ 回目に初めて直前と同じ目が出るには、最初の $n-1$ 回では隣り合う目が異なり、最後の目は $(n-1)$ 回目と一致すればよい。最初の目は6通り、第2回から第 $n-1$ 回までは直前と異なる目がそれぞれ5通り、最後の目は1通りなので、該当する出方は $6\cdot5^{n-2}$ 通りである。したがって
$$P_n=\frac{6\cdot5^{n-2}}{6^n} =\frac{5^{n-2}}{6^{n-1}} =\frac16\left(\frac56\right)^{n-2}.$$

(2)

$r=\frac56$ とおくと
$$\begin{aligned} S_n &=\sum_{k=2}^{n}\frac16r^{k-2} =\frac16\sum_{j=0}^{n-2}r^j\\ &=\frac16\cdot\frac{1-r^{n-1}}{1-r} =1-r^{n-1}. \end{aligned}$$$$S_n=\sum _{k=2}^n\frac{1}{6}{r}^{k-2}=\frac{1}{6}\sum _{j=0}^{n-2}{r}^j$$$$=\frac{1}{6}\cdot \frac{1-r^{n-1}}{1-r}=1-r^{n-1}.$$
よって
$$\boxed{S_n=1-\left(\frac56\right)^{n-1}}.$$

(3)

$S_n=1-(5/6)^{n-1}$ は $n$ とともに増加する。実際、
$$S_4=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}<\frac12,\qquad S_5=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}>\frac12.$$
したがって条件を満たす最小の整数 $n$ は
$$\boxed{5}.$$

(4)

$r=\frac56$、$N=n-2$ とし、
$$A=\sum_{j=0}^{N}r^j,\qquad B=\sum_{j=0}^{N}jr^j$$
とおく。このとき
$$A=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}=6(1-r^{n-1}).$$
また、添字を一つずらして引き算すると
$$(1-r)B=\sum_{j=1}^{N}r^j-Nr^{N+1},$$
したがって
$$B=\frac{r-(N+1)r^{N+1}+Nr^{N+2}}{(1-r)^2} =36\left(r-(n-1)r^{n-1}+(n-2)r^n\right).$$
$P_k=\frac16r^{k-2}$ を使えば
$$\begin{aligned} E_n &=\frac16\sum_{j=0}^{n-2}(j+2)r^j =\frac{B+2A}{6}\\ &=6\left(r-(n-1)r^{n-1}+(n-2)r^n\right) +2(1-r^{n-1})\\ &=7+\bigl[-6(n-1)-2+5(n-2)\bigr]r^{n-1}\\ &=7-(n+6)r^{n-1}. \end{aligned}$$$$E_n=\frac{1}{6}\sum _{j=0}^{n-2}(j+2)r^j=\frac{B+2A}{6}$$$$=6\left(r-(n-1)r^{n-1}+(n-2)r^n\right)+2(1-r^{n-1})$$$$=7+[-6(n-1)-2+5(n-2)]r^{n-1}$$$$=7-(n+6)r^{n-1}.$$
最後の整理では $6r=5$ を用いた。よって
$$\boxed{E_n=7-(n+6)\left(\frac56\right)^{n-1}}.$$