4岡山大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1)

$f(-x)=g(x)$ なので、共有点は $x=0$ を中心に対称である。$a\geqq 1$ で $f(a)=0<2ae^{-a}=g(a)$、$f(2a)=ae^{2a}>3ae^{-2a}=g(2a)$（$e^{4a}>3$、これは $e>2$ より成り立つ）が成り立つ。

(2)

$a>1$ で $0<x<a-1$ とする。$a-x>0$ と $e^{2x}>1+2x$（$x>0$）より
$$(a-x)e^{2x}>(a-x)(1+2x)=(a+x)+2x(a-1-x)>a+x.$$
両辺を $e^{x}$ で割ると $(a-x)e^{x}>(a+x)e^{-x}$、すなわち $f(x)>g(x)$ である。
$x=a-1$ でも、$e^{2(a-1)}>1+2(a-1)=2a-1$ より $f(a-1)>g(a-1)$ が成り立つ。

(3)

$f(a-1)>g(a-1)$、$f(a)<g(a)$、$f(2a)>g(2a)$ より、区間 $(a-1,\,a)$ と区間 $(a,\,2a)$ にそれぞれ正の共有点が少なくとも一つある。よって $a>1$ では正の共有点が少なくとも 2 つあり、対称な負の点と $0$ を合わせ、共有点は少なくとも 5 個である。
$a=1$ の場合、$0<x<1$ では $\log\dfrac{1+x}{1-x}-2x$ は $x=0$ で 0 であり、その導関数 $\dfrac{2x^{2}}{1-x^{2}}>0$ なので、$f<g$ であり、共有点はない。$x>1$ では $K(x)=2x-\log\dfrac{x+1}{x-1}$ とおくと、導関数は $2+\dfrac{2}{x^{2}-1}>0$ で、$x\to 1+$ で $-\infty$、$x\to\infty$ で $+\infty$ である。従って $x>1$ の共有点はただ 1 つ。$f(-x)=g(x)$ より負の側にもただ 1 つあり、$x=0$ と合わせてちょうど 3 点である。したがって $a=1$ のみである。