岡山大学 2026年数学第3問解答・解説

1問題

岡山大学2026年度第3問

i

は虚数単位とする。以下の問いに答えよ。
(1)

\alpha,\beta

を実数とする。

(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)

を示せ。
(2)

\theta

を実数とする。正の整数

n

に対して、

(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)

を示せ。
(3) 以下の条件 (a), (b) をともに満たす複素数

z

をすべて求めよ。
(a)

z

の虚部は正で

|z|=1

である。
(b)

z^5+z

は実数である。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(3)
$z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i,\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$

解答を見る途中式つきの解答

(1)

(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) +i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) =\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta).

(2)

n=1

で成り立つ。

n

で成り立つと仮定すると、(1) より

\begin{aligned} (\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1} &=\{\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\}(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &=\cos((n+1)\theta)+i\sin((n+1)\theta). \end{aligned}

(cos θ + i sin θ)^{n + 1} = {cos (n θ) + i sin (n θ)} (cos θ + i sin θ) = cos ((n + 1) θ) + i sin ((n + 1) θ) .

よって数学的帰納法により成り立つ。

(3)

|z|=1

、

z

の虚部が正であるから

z=\cos\theta+i\sin\theta\quad(0<\theta<\pi)

。(2) より

z^{5}=\cos5\theta+i\sin5\theta

であるから、

z^{5}+z

の虚部は

\sin5\theta+\sin\theta=2\sin3\theta\cos2\theta.

したがって

z^{5}+z

が実数となるのは

\sin3\theta=0

または

\cos2\theta=0

のとき。範囲

0<\theta<\pi

では

\theta=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{3\pi}{4}.

よって

z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i,\quad \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\quad -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\quad -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。