I日本医科大学 2024年 数学 第I問解答・解説

角 $\alpha$ を $\cos\alpha=\frac{2}{3}$、かつ $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ となるようにとる。三角形 $OAB$ は $OA=2$, $OB=3$, $\alpha<\angle AOB<\frac{\pi}{2}$ を満たすとし、三角形 $OAB$ の垂心を $H$ とする。$x=\cos\angle AOB$ とおくとき、以下の各問いのア～シに入る適切な数を求めよ。ただし、ウ～シは1以上の整数で答えよ。またスに関しては下の指示に従うこと。
問1 $x$ の動く範囲は $\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$ である。
問2 ベクトル $\overrightarrow{OH}$ は次のように表せる。$$\overrightarrow{OH}=\frac{x(\boxed{\text{ウ}}-\boxed{\text{エ}}x)}{\boxed{\text{オ}}(1-x^{2})}\overrightarrow{OA}+\frac{x(\boxed{\text{カ}}-\boxed{\text{キ}}x)}{\boxed{\text{ク}}(1-x^{2})}\overrightarrow{OB}.$$
問3 三角形 $HAB$ の面積 $S(x)$ は次のように表せる。$$S(x)=\frac{\boxed{\text{ケ}}x^{2}-\boxed{\text{コ}}x+\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}\sqrt{1-x^{2}}}.$$
問4 $x$ が問1で求めた範囲をアからイまで動くとき（ただし、端点は除く）、問3の $S(x)$ は、ス。上記の文中のスに当てはまるものを、次の（あ）～（え）の中から1つ選べ。なお、以下の選択肢において、$c$ は $\boxed{\text{ア}}<c<\boxed{\text{イ}}$ を満たす定数とする。ただし、アとイには問1で求めた数が入る。
（あ）単調に増加する。
（い）単調に減少する。
（う）$\boxed{\text{ア}}<x<c$ で増加し、$c<x<\boxed{\text{イ}}$ で減少する。
（え）$\boxed{\text{ア}}<x<c$ で減少し、$c<x<\boxed{\text{イ}}$ で増加する。