6新潟大学 2025年 数学 第6問解答・解説

座標平面上の曲線$y=x\sin^{2}x$を$C$とする。自然数$n$に対して、曲線$C$上に点${P}_{n} (n \pi ,0),$点${Q}_{n}\left(\dfrac{2n-1}{2}\pi,\dfrac{2n-1}{2}\pi\right)$をとる。次の問いに答えよ。

(1)　曲線$C$上の点${P}_{n}$における接線の方程式を求めよ。また、曲線$C$上の点${Q}_{n}$における接線の方程式を求めよ。

(2)　曲線$C$と線分${P}_{n}{P}_{n+1}$で囲まれる部分の面積${S}_{n}$を$n$を用いて表せ。

(3)　曲線$C$と線分${Q}_{n}{Q}_{n+1}$で囲まれる部分の面積${T}_{n}$を$n$を用いて表せ。

(4)　${S}_{n}$と${T}_{n}$は、(2)と(3)で求めたものとする。極限値

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{{\sum }_{n=1}^{k}{S}_{n}}{{\sum }_{n=1}^{k}{T}_{n}}$

を求めよ。