3新潟大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1)

$\alpha+\beta=1$、$\alpha\beta=-1$ より、$a_1=2$、$a_2=1$、$a_3=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3$。
各根が $r^2=r+1$ を満たすため、$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$。
よって $a_4=4$、$a_5=7$。

(2)

$\alpha^2-\alpha=1$、$\beta^2-\beta=1$ の両辺に、それぞれ $\alpha^{n-1}$、$\beta^{n-1}$ を掛ければよい。
$n=1$ でも指数 $0$ として成立する。

(3)

$b_1=a_2-a_1=1-2=-1$。
$n\geqq2$ では(2)の指数を $n-1$ として、$\alpha^n-\alpha^{n-1}=\alpha^{n-2}$、同様に $\beta$ の式も成り立つ。
両式の和より $a_{n+1}-a_n=a_{n-1}$。

(4)

(3)より $a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$（$k\geqq1$）。
$k=1$ から $n$ まで加えると、$\sum_{k=1}^na_k=a_{n+2}-a_2=a_{n+2}-1$ となる。

(5)

$n=1$ では左辺は $4$、右辺は $2\cdot1+2=4$。
$k\geqq2$ では $a_{k+1}-a_{k-1}=a_k$ だから、$a_k^2=a_ka_{k+1}-a_{k-1}a_k$。
$k=2$ から $n$ まで加え、$a_1^2=4$ を足すと、$\sum_{k=1}^na_k^2=a_na_{n+1}-a_1a_2+4=a_na_{n+1}+2$。