4新潟大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)

$f(x)=\log_{2}x$ は $x>0$ で狭義単調増加。
端点 $f\left(\dfrac{1}{16}\right)=-4$、$f(4)=2$ より結論を得る。

(2)

$t=f(x)$ とおく。$-4\leqq t\leqq2$ で、
$$g(t)=\begin{cases}-t-3&(-4\leqq t\leqq-1),\\-2t^{2}+3t+3&(-1\leqq t\leqq0),\\t+3&(0\leqq t\leqq1),\\-2t^{2}+3t+3&(1\leqq t\leqq2)\end{cases}$$
となる。最初は $1$ から $-2$ へ減少し、中央2区間では $-2$ から $4$ へ増加し、最後は $4$ から $1$ へ減少する。
連続性より、値域は $-2\leqq y\leqq4$ となる。

(3)

$g(t)=1$ を各区間で解く。
$-4\leqq t\leqq-1$ では $-t-3=1$ から $t=-4$。
$-1\leqq t\leqq0$ では $-2t^{2}+3t+3=1$、すなわち $2t^{2}-3t-2=(2t+1)(t-2)=0$ から $t=-\dfrac{1}{2}$。
$0\leqq t\leqq1$ では $t+3=1$ となる解はない。
$1\leqq t\leqq2$ では同じ二次方程式から $t=2$。
$x=2^{t}$ に戻して、$x=\dfrac{1}{16},\,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,4$ を得る。

(4)

$t$ と $x=2^{t}$ は1対1に対応するので、$g(t)=a$ の解の個数を数える。
$g$ は次の3つの区間でそれぞれ単調に変わる。$-4\leqq t\leqq-1$ で $1$ から $-2$ へ、$-1\leqq t\leqq1$ で $-2$ から $4$ へ、$1\leqq t\leqq2$ で $4$ から $1$ へ。
$a=-2,\,4$ のときは、2つの区間が接する点を1個と数える。
$-2<a<1$ では左と中央の2個、$a=1$ では左端・中央・右端の3個、$1<a<4$ では中央と右の2個になる。