7防衛医科大学校 2024年 数学 第7問解答・解説

(1) 外接円の面積の平均の極限

三角形 $AOP_k$ は $O$ を直角とする直角三角形なので、外接円の直径は斜辺 $AP_k$ である。
したがって、半径は $\frac{1}{2}\sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}$ であり、面積は
$$b_k=\frac{\pi}{4}\left\{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2\right\}.$$
連続関数のリーマン和より、
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{b_k}{n} &=\frac{\pi}{4}\int_0^1(1+x^2)\,dx\\ &=\frac{\pi}{4}\left(1+\frac{1}{3}\right)\\ &=\frac{\pi}{3}. \end{aligned}$$$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{b_k}{n}=\frac{\pi }{4}{\int }_0^1(1+x^2)dx$$$$=\frac{\pi }{4}\left(1+\frac{1}{3}\right)$$$$=\frac{\pi }{3}.$$

(2)(i) 根号のt表示

$\sqrt{x^2+1}>|x|$ なので、$t=\sqrt{x^2+1}+x>0$ である。
$$(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1$$
より、$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{t}$ となる。
この式と定義式を加えると、$2\sqrt{x^2+1}=t+\frac{1}{t}$ を得る。
また、差を取れば $x=\frac{t-\frac{1}{t}}{2}$ となる。

(2)(ii) 根号の定積分

(i) の置換では、$x=\frac{t-t^{-1}}{2}$、$dx=\frac{1+t^{-2}}{2}\,dt$ となる。
$x=0$ で $t=1$、$x=1$ で $t=1+\sqrt{2}$ である。したがって、
$$\begin{aligned} \int_0^1\sqrt{x^2+1}\,dx &=\frac{1}{4}\int_1^{1+\sqrt{2}}(t+2t^{-1}+t^{-3})\,dt\\ &=\left[\frac{t^2-t^{-2}}{8}+\frac{1}{2}\log t\right]_1^{1+\sqrt{2}}. \end{aligned}$$$${\int }_0^1\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{4}{\int }_1^{1+\sqrt{2}}(t+2t^{-1}+t^{-3})dt$$$$={\left[\frac{t^2-t^{-2}}{8}+\frac{1}{2}\log t\right]}_1^{1+\sqrt{2}}.$$
$T=1+\sqrt{2}$ とすると、$T^{-1}=\sqrt{2}-1$、$T^2-T^{-2}=4\sqrt{2}$ である。
よって、積分値は $\frac{\sqrt{2}+\log(1+\sqrt{2})}{2}$ となる。

(3) 内接円の半径の平均の極限

二直角辺が $u,v$、斜辺が $w$ の直角三角形の内接円の半径は、$\frac{u+v-w}{2}$ である。
これは面積の関係 $\frac{r(u+v+w)}{2}=\frac{uv}{2}$ と $w^2=u^2+v^2$ からも導ける。
本問では、
$$c_k=\frac{1}{2}\left\{1+\frac{k}{n}-\sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\right\}.$$
したがって、リーマン和の極限と (2)(ii) より、
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{c_k}{n} &=\frac{1}{2}\int_0^1(1+x-\sqrt{1+x^2})\,dx\\ &=\frac{1}{2}\left\{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}+\log(1+\sqrt{2})}{2}\right\}\\ &=\frac{3-\sqrt{2}-\log(1+\sqrt{2})}{4}. \end{aligned}$$$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{c_k}{n}=\frac{1}{2}{\int }_0^1(1+x-\sqrt{1+x^2})dx$$$$=\frac{1}{2}\left\{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2})}{2}\right\}$$$$=\frac{3-\sqrt{2}-\log (1+\sqrt{2})}{4}.$$