5防衛医科大学校 2024年 数学 第5問解答・解説

空欄11・12 三角関数の比

角を度数法でも併記する。問題の比は
$$R=\frac{\tan50^\circ\tan70^\circ}{\tan60^\circ\tan80^\circ}.$$
$\tan50^\circ=\frac{1}{\tan40^\circ}$、$\tan70^\circ=\frac{1}{\tan20^\circ}$ より、
$$R=\frac{1}{\sqrt{3}\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ}.$$
$t=\tan\theta$ とおくと、加法定理から
$$\tan(60^\circ+\theta)\tan(60^\circ-\theta)=\frac{3-t^2}{1-3t^2}.$$
両辺に $t$ を掛ければ、三倍角公式により、
$$\tan\theta\tan(60^\circ+\theta)\tan(60^\circ-\theta)=\tan3\theta.$$
$\theta=20^\circ$ を代入すると、三つの積は $\tan60^\circ=\sqrt{3}$ となる。
したがって、$R=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$ である。

空欄13・14 角CEH

$\angle ABC=50^\circ$、$\angle ABD=30^\circ$ だから、$\angle DBC=20^\circ$ となる。
$AH=h>0$ とおく。直角三角形 $ABH,ACH$ から、
$$BH=\frac{h}{\tan50^\circ},\qquad HC=\frac{h}{\tan30^\circ}=\sqrt{3}h.$$
直線 $BD$ と $AH$ の交点を $E$ とすると、$\angle EBH=20^\circ$ なので、
$$EH=BH\tan20^\circ=\frac{h\tan20^\circ}{\tan50^\circ}.$$
これは $0<EH<AH$ であり、$E$ は $A,H$ の間にある。
直角三角形 $EHC$ より、
$$\tan\angle CEH=\frac{HC}{EH}=\frac{\sqrt{3}\tan50^\circ}{\tan20^\circ}.$$
前半で得た $R=\frac{1}{3}$ と $\tan70^\circ=\frac{1}{\tan20^\circ}$ から、右辺は $\tan80^\circ$ に等しい。
$\angle CEH$ は鋭角なので、$80^\circ=\frac{4\pi}{9}$ と一意に決まる。