4防衛医科大学校 2024年 数学 第4問解答・解説

空欄7 正の整数解の個数

$5x+7y=141$ を $5$ を法として見ると、$2y\equiv1\pmod{5}$ より $y\equiv3\pmod{5}$ である。
$x>0,y>0$ から、$1\leqq y\leqq20$ となる。
したがって、$y=3,8,13,18$ である。対応する $x=\frac{141-7y}{5}$ は、順に $24,17,10,3$ となる。
すべて正の整数なので、計 $4$ 組である。

空欄8〜10 三組となるnの最大値

$z=-y$ とおくと、条件は「$x,z$ が整数であり、
$$x\geqq1,\qquad z\geqq1,\qquad x+z\leqq48,$$
かつ $5x-7z=n$」となる。
同じ $n$ に対する解は、$z$ の小さい順に、$(x,z)$ が $(7,5)$ ずつ増える。
三つ以上の解があるなら、その最初の解を $(u,v)$ とすると、三番目は $(u+14,v+10)$ である。
したがって、$u+v+24\leqq48$、すなわち $u+v\leqq24$ となる。よって、
$$\begin{aligned} n&=5u-7v\\ &=5(u+v)-12v\\ &\leqq5\cdot24-12=108. \end{aligned}$$$$n=5u-7v$$$$=5(u+v)-12v$$$$\leqq 5\cdot 24-12=108.$$
$n=108$ では、$(x,z)=(23,1),(30,6),(37,11)$ が条件を満たす。
全解は $(x,z)=(23+7t,1+5t)$ である。正の条件と $x+z=24+12t\leqq48$ より、$t=0,1,2$ だけとなる。
したがって、ちょうど $3$ 組であり、最大値は $108$ である。