2防衛医科大学校 2024年 数学 第2問解答・解説

空欄3（一定の $m$ が $I$ 全体で挟む条件）

$f(x)=\log x$ は $I$ で単調増加するので、$I$ での最大値は $f(e)=1$ である。
$h(x)=4x+k$ も単調増加するので、$I$ での最小値は $h(1)=4+k$ である。

$I$ 内のすべての $x$ について $h(x)\geqq m\geqq f(x)$ が成り立つ定数 $m$ は、$f$ の最大値以上かつ $h$ の最小値以下の数である。よって $1\leqq m\leqq 4+k$ を満たす $m$ が存在すればよく、これは $k\geqq -3$ と同じである。
$k=-3$ のとき $m=1$ とすると、$I$ では $h(x)=4x-3\geqq 1$ かつ $1\geqq \log x$ が成り立つ。
したがって $k$ の最小値は $-3$ であり、空欄3は選択肢 (5) である。

空欄4（ある $x$ で一定の $n$ が挟む条件）

逆関数は $g(x)=e^{x}$ である。
$I$ 内のある $x$ に対して $h(x)\geqq n\geqq g(x)$ となる $n$ が存在するためには、$h(x)\geqq g(x)$ となる $x\in I$ があればよい。すなわち
$$4x+k\geqq e^{x}$$
となる $x\in I$ が存在することである。これは
$$k\geqq e^{x}-4x$$
となる $x\in I$ が存在することと同じなので、求める $k$ の最小値は $F(x)=e^{x}-4x$ の $I$ における最小値である。
$$F'(x)=e^{x}-4$$
であり、$F'(x)=0$ となるのは $e^{x}=4$、すなわち $x=\log 4$ のときである。
$e<4<e^{2}$ より $1<\log 4<2<e$ なので、$\log 4$ は $I$ に含まれる。
$x<\log 4$ で $F'(x)<0$、$x>\log 4$ で $F'(x)>0$ となるので、$F$ は $x=\log 4$ で最小となり、
$$F(\log 4)=e^{\log 4}-4\log 4=4-8\log 2$$
である。
よって $k$ の最小値は $4-8\log 2$ であり、空欄4は選択肢 (4) である。
このとき $x=\log 4$ で $h(x)=g(x)=4$ なので、$n=4$ とすればよい。