1防衛医科大学校 2024年 数学 第1問解答・解説

空欄1 交点のx座標の積

交点の $x$ 座標 $t$ は
$$2t^2-at+2-b=0$$
を満たす。また、二曲線の接線の傾きは $2t,-2t+a$ なので、直交条件は
$$2t(-2t+a)=-1\Longleftrightarrow4t^2-2at-1=0.$$
交点の式を $2$ 倍したものと比較すると、共通する $t$ について $4-2b=-1$、すなわち $b=\frac{5}{2}$ となる。
したがって、交点の二根は $2t^2-at-\frac{1}{2}=0$ の根であり、根の積は $-\frac{1}{4}$ である。

空欄2 面積条件からabの絶対値

$\alpha<\beta$ と並べ替え、$d=\beta-\alpha>0$ とおく。
二曲線の差は $C_2-C_1=2(x-\alpha)(\beta-x)$ なので、囲まれる面積は
$$S=2\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(\beta-x)\,dx=\frac{d^3}{3}.$$
$S=\sqrt{3}$ より $d=\sqrt{3}$ である。
また、$\alpha+\beta=\frac{a}{2},\ \alpha\beta=-\frac{1}{4}$ なので、
$$d^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=\frac{a^2}{4}+1.$$
したがって、$3=\frac{a^2}{4}+1$ より $|a|=2\sqrt{2}$ となる。
前半の $b=\frac{5}{2}$ と合わせて、
$$|ab|=2\sqrt{2}\cdot\frac{5}{2}=5\sqrt{2}.$$