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防衛医科大学校／2024年度／前期

6防衛医科大学校 2024年 数学 第6問解答・解説

1問題

防衛医科大学校2024年度第6問
ある科目の授業が週に1回あり、2人の学生がその授業を受けることになっている。どちらの学生も、独立に0.8の確率で授業に出席するものとする。ただし、授業の出席人数が0人になったときは、どちらの学生も次の週の授業には独立に0.9の確率で出席するものとする。第1回目の授業に出席する確率はどちらも0.8である。第 nn 回目の授業の出席人数が0人である確率を ana_{n} とする（n=1, 2, 3, ⋯n=1,\,2,\,3,\,\cdots）。このとき a2a_{2} の値は 151617181920\dfrac{\boxed{15}\boxed{16}}{\boxed{17}\boxed{18}\boxed{19}\boxed{20}} である。また、lim⁡n→∞an\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n} の値は 21222324\dfrac{\boxed{21}}{\boxed{22}\boxed{23}\boxed{24}} である。

（分数はそれ以上約分できない形で解答すること。）

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 空欄15〜20 a2の値
    a2=972500a_2=\dfrac{97}{2500}。各空欄は9、7、2、5、0、0。
  • 空欄21〜24 anの極限
    lim⁡n→∞an=4103\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{4}{103}。各空欄は 4,1,0,34,1,0,3。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

空欄15〜20 a2の値

初回の欠席確率は、各学生について 1−0.8=0.21-0.8=0.2 なので、a1=0.22=125a_1=0.2^2=\frac{1}{25} である。
前回の出席人数が 00 なら、次回に二人とも欠席する確率は 0.12=11000.1^2=\frac{1}{100}、そうでなければ 0.22=1250.2^2=\frac{1}{25} となる。
全確率の公式より、
an+1=1100an+125(1−an)=125−3100an. \begin{aligned} a_{n+1}&=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{25}(1-a_n)\\ &=\frac{1}{25}-\frac{3}{100}a_n. \end{aligned}
したがって、
a2=125−3100⋅125=972500. a_2=\frac{1}{25}-\frac{3}{100}\cdot\frac{1}{25}=\frac{97}{2500}.
9797 と 25002500 は互いに素なので、既約分数である。

空欄21〜24 anの極限

漸化式の固定点 LL は、L=125−3100LL=\frac{1}{25}-\frac{3}{100}L より L=4103L=\frac{4}{103} となる。
これを引くと、
an+1−4103=−3100(an−4103). a_{n+1}-\frac{4}{103}=-\frac{3}{100}\left(a_n-\frac{4}{103}\right).
したがって、
an=4103+(−3100)n−1(125−4103). a_n=\frac{4}{103}+\left(-\frac{3}{100}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{25}-\frac{4}{103}\right).
∣−3100∣<1\left|-\frac{3}{100}\right|<1 なので、第2項は 00 に収束する。よって、極限は 4103\frac{4}{103} である。
44 と 103103 は互いに素である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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