5奈良県立医科大学 2022年 数学 第5問解答・解説

奇偶性と対称区間上の積分の性質で式を整理する。正の区間では $xf(x)$ が正であり、分母も正なので、積分が厳密に正であることからパラメータを決める。

(1) 被積分関数を展開すると
$$I=\int_{-1}^{1}x^2f(x)\,dx+2a\int_{-1}^{1}xf(x)\,dx+a^2\int_{-1}^{1}f(x)\,dx.$$
$x^2f(x)$ と $f(x)$ は奇関数なので、それぞれの $-1$ から $1$ までの積分は $0$ である。また $xf(x)$ は偶関数だから、
$$I=2a\int_{-1}^{1}xf(x)\,dx=4a\int_0^1xf(x)\,dx.$$
$0<x\leqq 1$ では $xf(x)>0$ であるから、$\int_0^1xf(x)\,dx>0$ となる。従って $I=0$ ならば $a=0$ であり、逆に $a=0$ なら上式から $I=0$ である。よって $a=0$ と $I=0$ は同値である。
(2) 積分区間を正負に分け、負の側で変数を $-x$ に置き換え、奇関数の条件を用いると、
$$\begin{aligned}J&=\int_0^1\left\{\frac{f(x)}{(x+b)^2+1}+\frac{f(-x)}{(-x+b)^2+1}\right\}dx\\&=\int_0^1f(x)\left\{\frac{1}{(x+b)^2+1}-\frac{1}{(b-x)^2+1}\right\}dx\\&=-4b\int_0^1\frac{xf(x)}{\{(x+b)^2+1\}\{(b-x)^2+1\}}\,dx.\end{aligned}$$$$J={\int }_0^1\left\{\frac{f(x)}{(x+b{)}^2+1}+\frac{f(-x)}{(-x+b{)}^2+1}\right\}dx$$$$={\int }_0^{1}f(x)\left\{\frac{1}{(x+b{)}^2+1}-\frac{1}{(b-x{)}^2+1}\right\}dx$$$$=-4b{\int }_0^1\frac{xf(x)}{\{(x+b{)}^2+1\}\{(b-x{)}^2+1\}}dx.$$
右辺の積分の被積分関数は連続であり、分母は常に正である。また $0<x\leqq1$ では $xf(x)>0$ だから、被積分関数は正である。よって
$$C_b=\int_0^1\frac{xf(x)}{\{(x+b)^2+1\}\{(b-x)^2+1\}}\,dx>0.$$
従って $J=-4bC_b$ であるから、$J=0$ ならば $b=0$ である。なお $b=0$ のときもこの式から $J=0$ となる。