2奈良県立医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

実係数の 2 次方程式は共役な根をもつことを用いて係数を決める。回転を複素数の積で表して象限を調べ、複素数の偏角と虚部の条件から最後の最大値を求める。

(1)

実係数の 2 次方程式が非実数解 $z=5+3i$ をもてば、その共役複素数 $\overline{z}=5-3i$ も解である。したがって解を根にもつ 2 次式は、実数倍を除いて
$$(x-z)(x-\overline{z})=(x-5-3i)(x-5+3i)=x^{2}-10x+34$$
である。定数項を 1 にするには、この式を 34 で割ればよいので、
$$\dfrac{1}{34}x^{2}-\dfrac{5}{17}x+1=0.$$
よって $\text{ア}=\dfrac{1}{34}$、$\text{イ}=\dfrac{5}{17}$ である。実際、この方程式の根は $5\pm3i$ で、定数項も 1 である。

(2)

原点中心に反時計回りへ $\dfrac{\pi}{3}$ 回転することは、対応する複素数に $\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ を掛けることに当たる。したがって
$$w=(5+3i)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\dfrac{5-3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3+5\sqrt{3}}{2}i.$$
$3\sqrt{3}>5$ は両辺が正で $27>25$ であることから分かるので、実部は負である。一方、虚部は正である。よって $\mathrm{Q}$ は第 2 象限にあり、$\text{ウ}=\dfrac{5-3\sqrt{3}}{2}$、$\text{エ}=\dfrac{3+5\sqrt{3}}{2}$、$\text{オ}=2$ である。

(3)

$w=|w|(\cos\theta+i\sin\theta)$ と表せるから、加法定理を用いると
$$wu=|w|(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|w|\{\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi)\}.$$
したがって $wu$ の偏角は $\theta+\varphi+2k\pi$（$k$ は整数）であり、$\text{カ}=\theta+\varphi$ である。

次に $w=a+bi$ とおくと、(2) より $a=\dfrac{5-3\sqrt{3}}{2}<0$、$b=\dfrac{3+5\sqrt{3}}{2}>0$ である。また $-\dfrac{\pi}{2}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}$ なので $\cos\varphi>0$ であり、$wu$ の虚部は
$$a\sin\varphi+b\cos\varphi=\cos\varphi\,(a\tan\varphi+b)$$
である。これが 0 以上となることは、$a\tan\varphi+b\geqq0$ と同値である。$a<0$ より、これは $\tan\varphi\leqq-\dfrac{b}{a}$ と同値となる。$\tan\varphi$ はこの範囲で増加するため、最大値は境界 $a\tan\varphi+b=0$ で実現する。実際、$-\dfrac{b}{a}>0$ は有限なので、その値を $\tan$ にもつ角 $\varphi$ は $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 内にあり、虚部が 0 となる許される値である。よって
$$-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3+5\sqrt{3}}{5-3\sqrt{3}}=\dfrac{(3+5\sqrt{3})(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3})^{2}-5^{2}}=30+17\sqrt{3}.$$
したがって $\text{キ}=30+17\sqrt{3}$ である。境界では虚部がちょうど 0 となるので、条件の「0 以上」に含まれ、最大値として実際に達する。