1奈良県立医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

等差数列の初項と公差を文字で置いて与条件を連立し、得た一般項から指数を整理して等比数列の和の極限を求める。

初項を $x$、公差を $d$ とおくと、等差数列の一般項から $a_2=x+d,\ a_3=x+2d,\ a_4=x+3d$ である。条件の比が定義されているので $a_4$ は $0$ でない。また $a_3/a_4=2$ より、$$x+2d=2(x+3d),\qquad x+4d=0,\qquad d=-\frac{x}{4}.$$ したがって $a_2=x+d=\frac{3x}{4}$ であり、積の条件から $x\cdot\frac{3x}{4}=3$、すなわち $x^2=4$ を得る。$x>0$ より $x=2$、したがって $a_1=2,\ a_2=\frac{3}{2},\ d=-\frac{1}{2}$ である。実際、$a_3=1,\ a_4=\frac{1}{2}$ なので $a_1a_2=3$ かつ $a_3/a_4=2$ が成り立つ。
このとき $a_n=2-\frac{n-1}{2}=\frac{5-n}{2}$ だから、$b_n=3^{(5-n)/2}$ である。よって $b_5=3^0=1$。さらに $b_1=9$、公比は $q=3^{-1/2}=1/\sqrt{3}$ で $0<q<1$ であるから、$$S_n=9\frac{1-q^n}{1-q}=9\frac{1-(1/\sqrt{3})^n}{1-1/\sqrt{3}}.$$ ここで $q^n\to0$ より、$$\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{9}{1-1/\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{9}{2}(3+\sqrt{3}).$$ 分母を有理化した最終形は正であり、有限和の公式に $q=1/\sqrt{3}$ を代入した極限とも一致する。