3奈良県立医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

整数根を因数として取り出し、残る4次式について解と係数の関係を用いる。平方和は根の和と2個ずつの積の和から計算する。

与えられた多項式を $f(x)$ とする。$f(0)=0$ なので $x$ は因数であり、残る5次式は $x=1$ で $1-5+2+13-4-7=0$ となるから、$x-1$ も因数である。実際に割ると
$$f(x)=x(x-1)(x^4-4x^3-2x^2+11x+7).$$
問題文より整数解はちょうど2つであるため、これらは $0$ と $1$ であり、$\mathrm{ア}=0,\ \mathrm{イ}=1$ である。残る4つの解 $\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5,\alpha_6$ は4次式の根である。
4次式の根の和は $x^3$ の係数の符号を変えたもの、根の積は定数項であるから、
$$\alpha_3+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_6=4,\qquad \alpha_3\alpha_4\alpha_5\alpha_6=7.$$
また、根の2個ずつの積の和は $x^2$ の係数だから、
$$\alpha_3\alpha_4+\alpha_3\alpha_5+\alpha_3\alpha_6+\alpha_4\alpha_5+\alpha_4\alpha_6+\alpha_5\alpha_6=-2.$$
したがって、平方和は和の平方から2倍の積の和を引いて
$$\alpha_3^2+\alpha_4^2+\alpha_5^2+\alpha_6^2=4^2-2(-2)=20.$$
よって $\mathrm{ウ}=4,\ \mathrm{エ}=7,\ \mathrm{オ}=20$ である。因数分解した式を展開すると $x^6-5x^5+2x^4+13x^3-4x^2-7x$ に戻るため、係数と最終値を確認できる。