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名古屋大学／2025年度

3名古屋大学 2025年 数学 第3問解答・解説

図形と計量図形と方程式積分法

1問題

名古屋大学2025年度第3問
以下の問に答えよ。

(1) 実数 rr、α\alpha は 0<r≦10<r\leqq 1、0≦α<π0\leqq\alpha<\pi をみたすとする。xy平面内で、点(1, 0)(1,\,0)を中心にもつ半径rrの円周およびその内部をCCとする。CCを原点(0, 0)(0,\,0)を中心に反時計まわりに角度α\alphaだけ回転させるとき、Cが通過する領域の面積を求めよ。

(2) 実数 RR、α\alpha は 0<R≦10<R\leqq 1、0≦α<π0\leqq\alpha<\pi をみたすとする。xyz空間内で、点(1, 0, 0)(1,\,0,\,0)を中心にもつ半径RRの球面およびその内部をBとする。Bをz軸のまわりに角度αだけ回転させるとき、Bが通過する領域の体積を求めよ。ただし、回転の向きは回転後のBBの中心が(cos⁡α, sin⁡α, 0)(\cos\alpha,\,\sin\alpha,\,0)になるように選ぶものとする。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

回転中心の軌跡は半径 11、中心角 α\alpha の円弧である。0≦θ≦α0\leqq\theta\leqq\alpha の方向では、ρ\rho と中心円との距離が ∣ρ−1∣|\rho-1| なので、1−r≦ρ≦1+r1-r\leqq\rho\leqq 1+r となる。
この部分の面積は
α2((1+r)2−(1−r)2)=2rα.\dfrac{\alpha}{2}\bigl((1+r)^{2}-(1-r)^{2}\bigr)=2r\alpha.
円弧の両端では、円弧の外側に半径 rr の半円が各 11 個ずつ付く。r≦1r\leqq 1、α<π\alpha<\pi よりこれらの外側部分は重ならず、合計面積は πr2\pi r^{2} となる。
よって
S=2rα+πr2.S=2r\alpha+\pi r^{2}.

(2)

zz を固定すると、球の断面の半径は s=R2−z2 (∣z∣≦R)s=\sqrt{R^{2}-z^{2}}\ (|z|\leqq R) であり、中心は (1) と同じ円弧上を動く。s≦R≦1s\leqq R\leqq 1 なので、(1) より、この断面の面積は
A(z)=2αR2−z2+π(R2−z2).A(z)=2\alpha\sqrt{R^{2}-z^{2}}+\pi(R^{2}-z^{2}).
よって
V=∫−RRA(z) dz=2α∫−RRR2−z2 dz+π∫−RR(R2−z2) dz.V=\displaystyle\int_{-R}^{R}A(z)\,dz=2\alpha\displaystyle\int_{-R}^{R}\sqrt{R^{2}-z^{2}}\,dz+\pi\displaystyle\int_{-R}^{R}(R^{2}-z^{2})\,dz.
ここで ∫−RRR2−z2 dz=πR22\displaystyle\int_{-R}^{R}\sqrt{R^{2}-z^{2}}\,dz=\dfrac{\pi R^{2}}{2}、∫−RR(R2−z2) dz=4R33\displaystyle\int_{-R}^{R}(R^{2}-z^{2})\,dz=\dfrac{4R^{3}}{3} だから、
よって
V=πR2α+4πR33.V=\pi R^{2}\alpha+\dfrac{4\pi R^{3}}{3}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 円・扇形の性質と面積
  • 空間図形の計量
  • 断面積の積分による体積

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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