4名古屋大学 2022年 数学 第4問解答・解説

関数 $f(x)$ は区間 $x\geqq 0$ において連続な増加関数で $f(0)=1$ を満たすとする。ただし $f(x)$ が区間 $x\geqq 0$ における増加関数であるとは、区間内の任意の実数 $x_{1}$、$x_{2}$ に対し $x_{1}<x_{2}$ ならば $f(x_{1})<f(x_{2})$ が成り立つときをいう。以下、$n$ は正の整数とする。

(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{2-\dfrac{1}{n}}\dfrac{f(x)}{2-x}\,dx=\infty$ を示せ。

(2) 区間 $y>2$ において関数 $F_{n}(y)$ を $F_{n}(y)=\displaystyle\int_{2+\dfrac{1}{n}}^{y}\dfrac{f(x)}{x-2}\,dx$ と定めるとき、$\displaystyle\lim_{y\to\infty}F_{n}(y)=\infty$ を示せ。また $2+\dfrac{1}{n}$ より大きい実数 $a_{n}$ で $\displaystyle\int_{0}^{2-\dfrac{1}{n}}\dfrac{f(x)}{2-x}\,dx+\int_{2+\dfrac{1}{n}}^{a_{n}}\dfrac{f(x)}{2-x}\,dx=0$ を満たすものがただ1つ存在することを示せ。

(3) (2)の $a_{n}$ について、不等式 $a_{n}<4$ がすべての $n$ に対して成り立つことを示せ。