1名古屋大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$t=x-a$ とおくと、
$$x^{3}=(t+a)^{3}=t^{3}+3at^{2}+3a^{2}t+a^{3}.$$
$t^{2}$ で割った余りは $3a^{2}t+a^{3}=3a^{2}x-2a^{3}$ である。

(2)

$$x^{3}=(x-\alpha)(x^{2}+\alpha x+\beta)+(\alpha^{2}-\beta)x+\alpha\beta.$$
よって $\alpha^{2}-\beta=3$、$\alpha\beta=b$ であり、$\beta=\alpha^{2}-3$ を代入すると $g(\alpha)=\alpha^{3}-3\alpha=b$ となる。
$g'(\alpha)=3(\alpha^{2}-1)$ だから、$g$ は $\alpha<-1$ または $\alpha>1$ の範囲で増加し、$-1<\alpha<1$ の範囲で減少する。$g(-1)=2$、$g(1)=-2$ である。
$-2<b<2$ なら交点は3個、$b=2$ では $(\alpha+1)^{2}(\alpha-2)=0$ より異なる解は2個、$b=-2$ では $(\alpha-1)^{2}(\alpha+2)=0$ より異なる解は2個、$|b|>2$ なら交点は1個である。$\alpha$ ごとに $\beta$ は一意に定まる。