II順天堂大学 2024年 数学 第II問解答・解説

直角三角形と余弦定理で三角形 $\mathrm{ACE}$ を調べる。ベクトル $\vec{p}$ と $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ を直交する基底にとり、等長条件と図の凸な向きから $\vec{q}$ の成分を定める。中点は位置ベクトルで計算し、敷き詰めの周期ベクトルは図の辺の対応に沿う具体的な変換の合成から求める。

(a)

$\angle\mathrm{B}=90^{\circ}$ より $\mathrm{AC}=\sqrt{2}$、また $\angle\mathrm{D}=90^{\circ}$ より $\mathrm{CE}=\sqrt{2}$ である。三角形 $\mathrm{ACE}$ に余弦定理を用いると、
$$1=\mathrm{AE}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}-2\,\mathrm{AC}\cdot\mathrm{CE}\cos\angle\mathrm{ACE}=4-4\cos\angle\mathrm{ACE}$$
となるから、$\cos\angle\mathrm{ACE}=\dfrac{3}{4}$ である。さらに $\sin\angle\mathrm{ACE}=\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ なので、五角形の面積は三つの三角形 $\mathrm{ABC}$、$\mathrm{ACE}$、$\mathrm{CDE}$ の面積の和として
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{4} =\dfrac{4+\sqrt{7}}{4}$$
である。したがって、空欄は $\text{ア}=3$、$\text{イ}=4$、$\text{ウ}=4$、$\text{エ}=7$、$\text{オ}=4$ である。

(b)

$\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ とおく。$\vec{p}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ と $\vec{u}$ は垂直な単位ベクトルであるから、これらを直交する基底とする。$\vec{q}=r\vec{p}+v\vec{u}$ とおけば、$|\vec{q}|=1$ および $\vec{q}\cdot\vec{u}>0$ より
$$r^{2}+v^{2}=1,\qquad v>0.$$
五角形は図の向きに凸であるので、$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=v\vec{p}-r\vec{u}$ となる（$\vec{q}$ を時計回りに90度回した単位ベクトル）。$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\vec{p}+\vec{u}$、$\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\vec{q}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}=(r+v)\vec{p}+(v-r)\vec{u}$ だから、$\mathrm{AE}=1$ より
$$1=(1-r-v)^{2}+(1-v+r)^{2}=4(1-v),$$
従って $v=\dfrac{3}{4}$、$r=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ である。図の五角形では $\angle\mathrm{BCD}$ が鈍角であるから $r=\vec{p}\cdot\vec{q}<0$ である。よって $r=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ であり、
$$\vec{p}\cdot\vec{q}=-\dfrac{\sqrt{7}}{4},\qquad \vec{q}=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}\vec{p}+\dfrac{3}{4}\vec{u}.$$
$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=s\vec{p}+t\vec{q}=\vec{p}+\vec{u}$ と比較すると、$\dfrac{3t}{4}=1$、$s-\dfrac{\sqrt{7}}{4}t=1$ だから
$$s=\dfrac{3+\sqrt{7}}{3},\qquad t=\dfrac{4}{3}.$$
また、点 $\mathrm{A}$ と点 $\mathrm{E}$ の位置ベクトルの平均をとれば、
$$\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}}{2} =\dfrac{7-\sqrt{7}}{8}\vec{p}+\dfrac{7+\sqrt{7}}{8}\vec{u} =\dfrac{7+\sqrt{7}}{6}(\vec{p}+\vec{q}).$$
したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\vec{p}-\overrightarrow{\mathrm{CM}} =-\dfrac{1+\sqrt{7}}{6}\vec{p}-\dfrac{7+\sqrt{7}}{6}\vec{q}.$$
この小問の空欄は $\text{カ}=7$、$\text{キ}=4$、$\text{ク}=3$、$\text{ケ}=7$、$\text{コ}=3$、$\text{サ}=4$、$\text{シ}=3$、$\text{ス}=7$、$\text{セ}=7$、$\text{ソ}=6$、$\text{タ}=1$、$\text{チ}=7$、$\text{ツ}=6$、$\text{テ}=7$、$\text{ト}=7$、$\text{ナ}=6$ である。

(c)

図1の辺の対応をたどる。基底を $(\vec{p},\vec{u})$ とした座標で、$s=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$、$v=\dfrac{3}{4}$ とおくと、辺 $\mathrm{AB}$ の向こうの五角形、辺 $\mathrm{CD}$ の向こうの五角形、辺 $\mathrm{EA}$ の向こうの五角形への配置は、それぞれ
$$G_{AB}(z)=R_{AB}z+2\vec{p},\qquad G_{CD}(z)=R_{CD}z,\qquad G_{EA}(z)=-z+\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}$$
$$R_{AB}=\begin{pmatrix}s&-v\\v&s\end{pmatrix},\qquad R_{CD}=\begin{pmatrix}-s&-v\\v&-s\end{pmatrix}$$
で表せる。実際、これらは共有辺の端点をそれぞれ $(\mathrm{D},\mathrm{E})$ から $(\mathrm{B},\mathrm{A})$、$(\mathrm{B},\mathrm{C})$ から $(\mathrm{D},\mathrm{C})$、$(\mathrm{E},\mathrm{A})$ から $(\mathrm{A},\mathrm{E})$ へ対応させる。$R_{AB}R_{CD}=R_{CD}R_{AB}=-I$ だから、図の $\mathrm{M}'$ へ移る三段の配置 $G_{AB}\circ G_{CD}\circ G_{EA}$ は平行移動で、その移動ベクトルは
$$2\vec{p}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CE}} =\dfrac{1+\sqrt{7}}{4}\vec{p}-\dfrac{7+\sqrt{7}}{4}\vec{u} =-\dfrac{1+\sqrt{7}}{3}\vec{p}-\dfrac{7+\sqrt{7}}{3}\vec{q}.$$
同様に $\mathrm{M}''$ へ移る配置 $G_{CD}\circ G_{AB}\circ G_{EA}$ の移動ベクトルは
$$2\vec{q}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CE}} =-\dfrac{7+\sqrt{7}}{4}\vec{p}-\dfrac{1+\sqrt{7}}{4}\vec{u} =-\dfrac{7+\sqrt{7}}{3}\vec{p}-\dfrac{1+\sqrt{7}}{3}\vec{q}.$$
ここで $\vec{p}\cdot\vec{q}=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ である。$a=\dfrac{1+\sqrt{7}}{3}$、$b=\dfrac{7+\sqrt{7}}{3}$ とすれば、$\overrightarrow{\mathrm{MM}'}=-a\vec{p}-b\vec{q}$、$\overrightarrow{\mathrm{MM}''}=-b\vec{p}-a\vec{q}$ だから
$$|\overrightarrow{\mathrm{MM}'}|^{2}=a^{2}+b^{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}ab=4+\sqrt{7}, \qquad \overrightarrow{\mathrm{MM}'}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MM}''}=2ab-\dfrac{\sqrt{7}}{4}(a^{2}+b^{2})=0.$$
これらの二つのベクトルは垂直で長さも等しい。したがって三角形 $\mathrm{MM}'\mathrm{M}''$ の面積は
$$\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{MM}'}|\,|\overrightarrow{\mathrm{MM}''}|=\dfrac{4+\sqrt{7}}{2}.$$
空欄は $\text{ニ}=1$、$\text{ヌ}=7$、$\text{ネ}=3$、$\text{ノ}=7$、$\text{ハ}=7$、$\text{ヒ}=3$、$\text{フ}=4$、$\text{ヘ}=7$、$\text{ホ}=0$、$\text{マ}=4$、$\text{ミ}=7$、$\text{ム}=2$ である。