3杏林大学 2023年 数学 第3問解答・解説

1(a)

$P=(u,v,0)$、$u=\sqrt{1-v^2}>0$ とおく。$Q=(-u,v,0)$、$R=(u,v,2u)$ であり、$PQ=PR=2u$ となる。
弧 $AP$ の長さを $s$（$0\leqq s\leqq\pi$）とすると、$P=(\sin s,-\cos s,0)$、$PR=2\sin s$ である。したがって展開図は正弦波の半周期の下側領域で、図の⑤となる。面積は $\int_0^\pi2\sin s\,ds=4$ である。
$M=(0,v,0)$ であり、$QR$ の $xz$ 断面は $z=x+u$ である。$M$ からの垂足は $H=(-\frac u2,v,\frac u2)$ で、$QH:HR=1:3$ となる。
$MH^2=\frac{u^2}2$、$OM^2=v^2$ から、$2MH^2+OM^2=1$ を得る。
$MH$ 全体の通過領域は固定平面 $z=-x$ 内にあり、$y$ 方向半径が $1$、$MH$ 方向半径が $\frac1{\sqrt2}$ の半楕円（図②）となる。その面積は $\frac12\pi\times1\times\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2\pi}4$ である。

1(b)

$QR$ の方向は $(1,0,1)$ で一定であり、$H=(-\frac u2,v,\frac u2)$ は平面 $F:z=-x$ 上にある。
また $QR$ は平面 $F$ に垂直である。従って $QR$ 上の各点を $F$ に正射影すると、すべて $H(v)$ に移る。
正射影で2点間の距離が増えないことを確認する。2点の差を $F$ に平行な成分と垂直な成分に分けると直交するので、三平方の定理から、差の長さは平行成分の長さ以上である。
曲面上で $A$ から $B$ へ向かう任意の道を考える。その道上の点の $y$ 座標は $-1$ から $1$ まで変わるので、道は $y$ の値がすべての高さ $v$（$-1\leqq v\leqq 1$）を通る。道上の点 $X$ を平面 $F$ に下ろした足は、$X$ の $y$ 座標を $v$ とすると必ず $H(v)$ になる（$QR$ は $F$ に垂直で、$QR$ 上の点はすべて同じ足に移るため）。よって道を $F$ に下ろした像は、$H$ の軌跡を $A$ から $B$ まで必ず通る。2点間の距離は、$F$ に下ろした足どうしの距離より短くない（前段の三平方の定理より）。したがって道の長さは、$H$ の軌跡の長さ以上である。
一方、$H$ は常に線分 $QR$ 上にあり、$P=(\sin s,-\cos s,0)$ に対して
$$H=\left(-\frac{\sin s}2,-\cos s,\frac{\sin s}2\right)\quad(0\leqq s\leqq\pi)$$
という滑らかな曲線で、端点は $A,B$ である。
従ってこの軌跡自身が最短であり、最短曲線は選択肢③の点 $H$ の軌跡である。

1(c)

固定した $y=v$ において、$PQ$ を直径とする円は $xz$ 平面に平行で、中心は $(0,v,0)$、半径は $u=\sqrt{1-v^2}$ である。
全体は単位球 $x^2+y^2+z^2\leqq1$ となり、体積は $\frac{4\pi}3$ である。
$\triangle PQR$ の面積は $\frac12(2u)(2u)=2u^2$ であり、同じ直径の円の面積 $\pi u^2$ の $\frac2\pi$ 倍である。
断面積の一定比から、体積は $V=\frac2\pi\times\frac{4\pi}3=\frac83$ となる。