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杏林大学／2022年度／一般

I杏林大学 2022年 数学 第I問解答・解説

三角関数微分・積分の考え

難易度必答 レベル 4/10 目安 15分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

杏林大学2022年度第I問
(1) 三角関数について、次の関係式が成り立つ。
cos⁡2θ=アイsin⁡2θ+ウ,sin⁡3θ=エオsin⁡3θ+カsin⁡θ. \cos2\theta=\boxed{\text{アイ}}\sin^{2}\theta+\boxed{\text{ウ}},\qquad \sin3\theta=\boxed{\text{エオ}}\sin^{3}\theta+\boxed{\text{カ}}\sin\theta .

(2) 0≦θ<2π0\leqq\theta<2\pi のとき、関数
y=−112sin⁡3θ+38cos⁡2θ−34sin⁡θ y=-\dfrac{1}{12}\sin3\theta+\dfrac{3}{8}\cos2\theta-\dfrac{3}{4}\sin\theta
は、θ=キクπ\theta=\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\pi で最小値 ケコサシス\dfrac{\boxed{\text{ケコサ}}}{\boxed{\text{シス}}} をとり、sin⁡θ=セソタ\sin\theta=\dfrac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}} のとき最大値 チツテト\dfrac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}} をとる。また、yy の極値を与える θ\theta の個数は ナ\boxed{\text{ナ}} である。

出典：杏林大学 2022年度 一般 数学 第I問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    cos⁡2θ=−2sin⁡2θ+1\cos2\theta=-2\sin^{2}\theta+1、sin⁡3θ=−4sin⁡3θ+3sin⁡θ\sin3\theta=-4\sin^{3}\theta+3\sin\theta
  • (2)
    θ=12π\theta=\dfrac{1}{2}\pi で最小値 −2524-\dfrac{25}{24}、sin⁡θ=−12\sin\theta=-\dfrac{1}{2} のとき最大値 3148\dfrac{31}{48}、極値を与える θ\theta は 4 個

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) を使うと yy は s=sin⁡θs=\sin\theta の3次関数 g(s)=13s3−34s2−s+38g(s)=\dfrac{1}{3}s^{3}-\dfrac{3}{4}s^{2}-s+\dfrac{3}{8}（−1≦s≦1-1\leqq s\leqq1）。極値は dydθ=g′(s)cos⁡θ=0\dfrac{dy}{d\theta}=g'(s)\cos\theta=0 の点で調べる。

解答

(1) cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta、sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta。

(2) s=sin⁡θs=\sin\theta とおくと
y=g(s)=13s3−34s2−s+38(−1≦s≦1). y=g(s)=\dfrac{1}{3}s^{3}-\dfrac{3}{4}s^{2}-s+\dfrac{3}{8}\quad(-1\leqq s\leqq1).
g′(s)=s2−32s−1=12(2s+1)(s−2)g'(s)=s^{2}-\dfrac{3}{2}s-1=\dfrac{1}{2}(2s+1)(s-2) で、gg は −1≦s≦−12-1\leqq s\leqq-\dfrac{1}{2} で増加、−12≦s≦1-\dfrac{1}{2}\leqq s\leqq1 で減少。g(−12)=3148g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{31}{48}、g(−1)=724g(-1)=\dfrac{7}{24}、g(1)=−2524g(1)=-\dfrac{25}{24}。
最大値 3148\dfrac{31}{48}（sin⁡θ=−12\sin\theta=-\dfrac{1}{2}）、最小値 −2524-\dfrac{25}{24}（sin⁡θ=1\sin\theta=1、θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2}）。

極値：dydθ=g′(sin⁡θ)cos⁡θ\dfrac{dy}{d\theta}=g'(\sin\theta)\cos\theta は θ=π2, 3π2\theta=\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{2}（cos⁡θ=0\cos\theta=0）と θ=7π6, 11π6\theta=\dfrac{7\pi}{6},\,\dfrac{11\pi}{6}（sin⁡θ=−12\sin\theta=-\dfrac{1}{2}）で0になり、いずれも前後で符号が変わる（θ=π2, 3π2\theta=\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{2} で極小、θ=7π6, 11π6\theta=\dfrac{7\pi}{6},\,\dfrac{11\pi}{6} で極大）。よって4個。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 2倍角・3倍角の公式
  • 置き換えと3次関数の増減

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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