II杏林大学 2022年 数学 第II問解答・解説

$\boxed{\text{ツ}}$ の解答は該当する解答群から最も適当なものを一つ選べ。自然対数の底を $e$ として、以下の問いに答えよ。

(1) $C$ を積分定数として、指数関数と単項式の積の不定積分について、次式が成り立つ。
$$\displaystyle\int xe^{-3x}\,dx=-\left(\dfrac{\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}\right)e^{-3x}+C,$$
$$\displaystyle\int x^{2}e^{-3x}\,dx=-\left(\dfrac{\boxed{\text{エ}}x^{2}+\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}\right)e^{-3x}+C .$$
また、定積分について、
$$\displaystyle\int_{0}^{1}\left|(9x^{2}-1)e^{-3x}\right|dx=\dfrac{1}{\boxed{\text{ケ}}}\left(-1+\boxed{\text{コ}}e^{\boxed{\text{サシ}}}-\boxed{\text{スセ}}e^{-3}\right)$$
が成り立つ。

(2) $p,\,q,\,r$ を実数の定数とする。関数 $f(x)=(px^{2}+qx+r)e^{-3x}$ が $x=0$ で極大、$x=1$ で極小となるための必要十分条件は、
$$p=\boxed{\text{ソタ}}r,\quad q=\boxed{\text{チ}}r,\quad \boxed{\text{ツ}}$$
である。さらに、$f(x)$ の極小値が $-1$ であるとすると、$f(x)$ の極大値は $\dfrac{e^{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ となる。このとき、$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

$\boxed{\text{ツ}}$ の解答群：① $r>0$　② $r=0$　③ $r<0$　④ $r>1$　⑤ $r=1$　⑥ $r<1$　⑦ $r>\dfrac{1}{3}$　⑧ $r=\dfrac{1}{3}$　⑨ $r<\dfrac{1}{3}$