1久留米大学 2026年 数学 第1問解答・解説

1辺の長さが1の正四面体 $\mathrm{OABC}$ と1つの面を共有する正四面体 $\mathrm{DABC}$ がある。$\mathrm{O}$ と $\mathrm{D}$ は異なる点である。$\mathrm{OB}$ の中点を $\mathrm{M}$、$\mathrm{BD}$ を $3:1$ に内分する点を $\mathrm{N}$ とする。点 $\mathrm{M}$ を通り、三角形 $\mathrm{OAC}$ に平行な面と $\mathrm{AB}$、$\mathrm{AD}$、$\mathrm{CD}$、$\mathrm{CB}$ との交点を、順に $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$、$\mathrm{S}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とする。

(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\vec{a}+\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\vec{b}+\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\vec{c}$ である。

(2) $|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。$\overrightarrow{\mathrm{SQ}}=\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\vec{a}$ であるから、$\mathrm{SQ}/\!/\mathrm{OA}$ である。

(3) 五角形 $\mathrm{MPQRS}$ の面積は $\dfrac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{スセ}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$ であり、五角錐 $\mathrm{N}-\mathrm{MPQRS}$ の体積は $\dfrac{\boxed{\text{タチ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{768}$ である。