5久留米大学 2026年 数学 第5問解答・解説

母線の長さが1である円錐がある。頂点を$O$とし、底面の円周上に、線分$AB$が直径となるように点$A,B$をとる。
$xyz$空間において、この円錐を滑らせることなく転がすことを考える。まず、頂点$O$が原点、点$A$が$(1,0,0)$、点$B$の$z$座標が正となるように円錐をおく。この状態から、円錐の側面が$xy$平面から離れないように円錐を転がすとき、元の位置に戻ってくるまでに円錐が通過する部分を$W$とおく。
$\angle AOB=\theta$とするとき、以下の問いに答えよ。ただし、$0<\theta<\dfrac\pi2$とする。また、各問いにおいて、点の位置は、円錐を最初においた場所で考えるものとする。
また、$\boxed{き},\boxed{く},\boxed{こ},\boxed{す},\boxed{せ},\boxed{そ},\boxed{ち},\boxed{つ}$には、次の選択肢から適当なものを選んで番号で答えよ。同じ番号を何回選んでもよい。
① $k$、② $k^2$、③ $\sin\theta$、④ $\cos\theta$、⑤ $\tan\theta$、⑥ $\sin^2\theta$、⑦ $\cos^2\theta$、⑧ $\sin t$、⑨ $\cos t$、⓪ $\tan t$

(1) 点$B$の座標は$(\boxed{き},0,\boxed{く})$である。

(2) 平面$z=k\ (k>0)$と円錐の底面とが共有する線分の端点を$C_k,D_k$とする。$C_k$と点$P_k(0,0,k)$との距離は$\sqrt{\boxed{け}-\boxed{こ}}$である。また、$W$の体積は$\dfrac{\boxed{さ}}{\boxed{し}}\pi\boxed{す}$である。

(3) 線分$OC_k$と平面$z=0$のなす角を$t$とすると、$P_kC_k=\boxed{せ}$である。円錐の底面の周が通過する曲面の面積は、$2\pi\displaystyle\int_0^\theta\boxed{せ}\,dt=2\pi\boxed{そ}$であるから、$W$の表面積は$\pi(1+\boxed{た}\boxed{ち}+\boxed{つ})$である。