3久留米大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)

$\alpha+\beta=2\sqrt p,\ \alpha\beta=p-q$である。
$a_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4p-2(p-q)=2(p+q)$となる。
$a_3=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)=2\sqrt p(2(p+q)-(p-q))=2\sqrt p(p+3q)$である。

(2)

$\alpha,\beta$は$T^2-2\sqrt pT+(p-q)=0$の2根だから、$a_{j+2}=2\sqrt p\,a_{j+1}-(p-q)a_j$である。
$j=2n-1$として定義を代入し、$\sqrt p$で割ると$b_{n+1}=2c_n-(p-q)b_n$となる。
$j=2n$とすると$c_{n+1}=2pb_{n+1}-(p-q)c_n$である。前式を代入して$c_{n+1}=(4p-(p-q))c_n-2p(p-q)b_n$となり、結論を得る。
初項$b_1=2,\ c_1=2(p+q)$と整数係数の漸化式から、$b_n,c_n$は整数である。

(3)

$p=5,\ q=3$では$0<\beta=\sqrt5-\sqrt3<1$である。したがって、$\alpha^{2026}=c_{1013}-\beta^{2026}$は整数$c_{1013}$の直前にあり、その整数部分は$c_{1013}-1$である。
(2)より$c_{n+1}=18c_n-20b_n\equiv8c_n\pmod{10},\ c_1=16\equiv6$である。
したがって、$c_n$の1の位は順に$6,8,4,2$を周期4で繰り返す。$1013\equiv1\pmod4$なので、$c_{1013}$の1の位は$6$となる。
よって、$\alpha^{2026}$の整数部分の1の位は$5$である。