4久留米大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1)

$n$回後の$A$の位置$1,2,3,4$の確率を$(p_n,q_n,r_n,s_n)$とする。各カードは$\frac13$で選ばれるので、
$$\begin{aligned} p_{n+1}&=\frac{2p_n+q_n}3,&q_{n+1}&=\frac{p_n+q_n+r_n}3,\\ r_{n+1}&=\frac{q_n+r_n+s_n}3,&s_{n+1}&=\frac{r_n+2s_n}3 \end{aligned}$$$$p_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{3},q_{n+1}=\frac{p_n+q_n+r_n}{3},$$$$r_{n+1}=\frac{q_n+r_n+s_n}{3},s_{n+1}=\frac{r_n+2s_n}{3}$$
である。初期$(1,0,0,0)$から、分母を$3^n$にそろえた分子の4組は次のようになる。
- $n=1$：$(2,1,0,0)$
- $n=2$：$(5,3,1,0)$
- $n=3$：$(13,9,4,1)$
- $n=4$：$(35,26,14,6)$
- $n=5$：$(96,75,46,26)$
したがって、$s_4=\frac6{81}=\frac2{27},\ s_5=\frac{26}{243}$である。

(2)

(1)の漸化式から、6回後に$A$が4の箱にある確率は$\frac{46+2\cdot26}{729}=\frac{98}{729}$である。
指定配置DCBAはABCDからの逆転数が6で、隣接交換は逆転数を1だけ増減する。6回で到達するには、毎回1増やす最短手順のみが可能である。
配置$w$への最短手順数$F(w)$は、最後の交換を戻した配置について、$F(w)=\sum_{i:w_i>w_{i+1}}F(ws_i),\ F(\mathrm{ABCD})=1$で数えられる。ここで$ws_i$は隣接する第$i$位置と第$i+1$位置を交換した配置を表す。
DCBAの直前の3配置CDBA,DBCA,DCABの手順数は、この漸化式で順に5,6,5となり、計16通りである。
カード番号列で書くと、手順は次の16通りである。
121321, 123121, 123212, 132132, 132312, 212321, 213213, 213231, 231213, 231231, 232123, 312132, 312312, 321232, 321323, 323123。
各手順の確率は$\frac1{3^6}$なので、指定配置の確率は$\frac{16}{729}$である。これは$A$が4の箱にある事象に含まれるため、条件付き確率は$\frac{\frac{16}{729}}{\frac{98}{729}}=\frac8{49}$となる。