1高知大学 2023年 数学 第1問解答・解説

$n$ は正の偶数であり，$f(x)=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{k!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}$（$1=x^{0}/0!$ とみて $k=0$ の項を含めた）である。$g(x)=f(x)e^{-x}$ とする。

(1) 項別に微分すると$$f'(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{k\,x^{k-1}}{k!}=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{x^{j}}{j!}.$$したがって$$f(x)-f'(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}-\sum_{j=0}^{n-1}\frac{x^{j}}{j!}=\frac{x^{n}}{n!}$$（$k=0,1,\dots,n-1$ の項は互いに打ち消し合い，$k=n$ の項だけが残る）。よって $f'(x)-f(x)=-\dfrac{x^{n}}{n!}$ である。積の微分法により$$g'(x)=f'(x)e^{-x}+f(x)\cdot(-e^{-x})=\bigl(f'(x)-f(x)\bigr)e^{-x}=-\frac{x^{n}}{n!}\,e^{-x}.$$

(2) $n$ は偶数だから，すべての実数 $t$ に対して $t^{n}\geqq 0$ であり，等号は $t=0$ のときに限る。また $e^{-t}>0$ は常に成り立つ。ゆえに$$g'(t)=-\frac{t^{n}}{n!}e^{-t}\leqq 0\quad(\text{すべての実数 }t\text{ で}),\qquad g'(t)<0\ (t\neq 0).$$いま $x<0$ を任意に固定する。$x<t<0$ を満たす任意の $t$ は $t\neq 0$ を満たすから，その区間で $g'(t)<0$ である。よって $g(t)$ は$x\leqq t\leqq0$ の範囲で（微分係数が負であることによる単調性の判定から）減少するので，$$g(x)>g(0)$$が成り立つ。ここで$$g(0)=f(0)e^{0}=f(0)=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{0^{k}}{k!}=1+0=1$$（$n\geqq 1$ より $k=1,\dots,n$ の各項は $0^{k}=0$）である。したがって $x<0$ のとき$$g(x)>g(0)=1,$$すなわち $g(x)>1$ が示された。

(3) (i) $x<0$ の場合。 (2) より $g(x)=f(x)e^{-x}>1$ である。$e^{-x}>0$ であるから両辺に $e^{x}\,(>0)$ を掛けて$$f(x)>e^{x}.$$指数関数の性質より，すべての実数 $x$ に対して $e^{x}>0$ であるから，$x<0$ のとき$$f(x)>e^{x}>0,\qquad\text{すなわち}\quad f(x)>0.$$(ii) $x\geqq 0$ の場合。 $x\geqq 0$ のとき，各 $k=1,2,\dots,n$ について $\dfrac{x^{k}}{k!}\geqq 0$ であるから$$f(x)=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\geqq 1>0.$$(i)，(ii) より，すべての実数 $x$ に対して $f(x)>0$ が成り立つ。ゆえに方程式 $f(x)=0$ を満たす実数 $x$ は存在せず，$f(x)=0$ は実数解をもたない。（証明終）