4北海道大学 2023年 数学 第4問解答・解説

1 から 6 へ移るとき、隣り合う数の差の絶対値の合計は少なくとも 5 である。その合計が 5 になる条件を求め、その条件を満たす数列を重複組合せで数える。

(2)

さいころの出目はすべて 1 以上 6 以下である。$a_{0}=1$、$a_{n+1}=6$ とおくと、
$$K_{n}=\sum_{i=0}^{n}|a_{i+1}-a_{i}|.$$
また $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}(a_{i+1}-a_{i})=5$ だから、$K_{n}\geqq5$ である。等号成立は各 $a_{i+1}-a_{i}\geqq0$ のとき、かつそのときに限る。よって $q_{n}=5$ であり、$K_{n}=q_{n}$ となる必要十分条件は $1\leqq a_{1}\leqq a_{2}\leqq\cdots\leqq a_{n}\leqq6$ である。

(1)

$K_{3}=5$ となるのは $1\leqq a_{1}\leqq a_{2}\leqq a_{3}\leqq6$ の場合である。このような列の個数は、1 から 6 までの 6 種類から重複を許して 3 個を選ぶ組合せの数 ${}_{6+3-1}\mathrm{C}_{3}={}_{8}\mathrm{C}_{3}=56$ である。全事象は $6^{3}=216$ 通りなので、確率は $\dfrac{56}{216}=\dfrac{7}{27}$ である。

(3)

$L_{n}=K_{n}+|a_{4}-4|\geqq5$ である。例えば $a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$、$a_{4}=a_{5}=\cdots=a_{n}=4$ とすれば $L_{n}=5$ となるから、$r_{n}=5$ である。等号 $L_{n}=5$ となるのは $K_{n}=5$ かつ $a_{4}=4$ のとき、すなわち $1\leqq a_{1}\leqq a_{2}\leqq a_{3}\leqq a_{4}=4\leqq a_{5}\leqq\cdots\leqq a_{n}\leqq6$ のときに限る。最初の 3 項は 1、2、3、4 から重複を許して選ぶ非減少列なので、${}_{4+3-1}\mathrm{C}_{3}={}_{6}\mathrm{C}_{3}=20$ 通りである。残りの $n-4$ 項は 4、5、6 から重複を許して選ぶ非減少列なので、${}_{3+(n-4)-1}\mathrm{C}_{n-4}={}_{n-2}\mathrm{C}_{2}$ 通り（$n=4$ のときも 1 通り）である。したがって有利な列は $20\cdot{}_{n-2}\mathrm{C}_{2}$ 通りであり、
$$p_{n}=\dfrac{20\cdot{}_{n-2}\mathrm{C}_{2}}{6^{n}}=\dfrac{10(n-2)(n-3)}{6^{n}}.$$