V関西医科大学 2022年 数学 第V問解答・解説

円柱 $C$ の底面は $x^{2}+y^{2}\leqq 3$ である。$y$ を固定すると、$x$ の範囲は
$$-\sqrt{3-y^{2}}\leqq x\leqq\sqrt{3-y^{2}}$$
となるから、その幅は $2\sqrt{3-y^{2}}$ である。各設問で $y$ を固定したときの $z$ の高さを求め、断面積を $y$ で積分する。

$(1)$ $\sqrt{3}z\leqq y$ かつ $z\geqq0$ より $y\geqq0$、また $0\leqq z\leqq y/\sqrt{3}$ である。円柱内では $0\leqq y\leqq\sqrt{3}$ なので $y/\sqrt{3}\leqq1<3$ となり、円柱の上端 $z=3$ はさらに切り取らない。したがって
$$\begin{aligned} V_1&=\int_{0}^{\sqrt{3}}2\sqrt{3-y^{2}}\,\frac{y}{\sqrt{3}}\,dy\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}\left[-\frac{1}{3}(3-y^{2})^{3/2}\right]_{0}^{\sqrt{3}} =2. \end{aligned}$$$$V_1={\int }_0^{\sqrt{3}}2\sqrt{3-y^2}\frac{y}{\sqrt{3}}dy$$$$=\frac{2}{\sqrt{3}}{\left[-\frac{1}{3}(3-y^2{)}^{3/2}\right]}_0^{\sqrt{3}}=2.$$
ここでは $u=3-y^{2}$ と置換した。

$(2)$ $z\geqq0$ と $z\leqq-\sqrt{3}y$ より $-\sqrt{3}\leqq y\leqq0$、高さは $-\sqrt{3}y$ である。$y\geqq-\sqrt{3}$ から $-\sqrt{3}y\leqq3$ なので、これも円柱上端を超えない。よって
$$\begin{aligned} V_2&=\int_{-\sqrt{3}}^{0}2\sqrt{3-y^{2}}\,(-\sqrt{3}y)\,dy\\ &=2\sqrt{3}\int_{0}^{\sqrt{3}}t\sqrt{3-t^{2}}\,dt =2\sqrt{3}\left[-\frac{1}{3}(3-t^{2})^{3/2}\right]_{0}^{\sqrt{3}} =6, \end{aligned}$$$$V_2={\int }_{-\sqrt{3}}^{0}2\sqrt{3-y^2}(-\sqrt{3}y)dy$$$$=2\sqrt{3}{\int }_0^{\sqrt{3}}t\sqrt{3-t^2}dt=2\sqrt{3}{\left[-\frac{1}{3}(3-t^2{)}^{3/2}\right]}_0^{\sqrt{3}}=6,$$
ただし $t=-y$ とした。

$(3)$ $yz$ 平面で直線 $y+\sqrt{3}z=0$ と点 $(y,z)$ との距離は
$$\frac{|y+\sqrt{3}z|}{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}}=\frac{|y+\sqrt{3}z|}{2}$$
である。したがって条件は $-2\sqrt{3}\leqq y+\sqrt{3}z\leqq2\sqrt{3}$ となる。円柱内では $y\geqq-\sqrt{3}$、$z\geqq0$ なので、左側の不等式は常に成り立つ。右側から
$$0\leqq z\leqq2-\frac{y}{\sqrt{3}}$$
を得る。ここで $-\sqrt{3}\leqq y\leqq\sqrt{3}$ に対して上端は $3$ から $1$ の範囲にあり、円柱の条件 $z\leqq3$ にも合う。従って
$$\begin{aligned} V&=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}2\sqrt{3-y^{2}}\left(2-\frac{y}{\sqrt{3}}\right)dy\\ &=4\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{3-y^{2}}\,dy -\frac{2}{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}y\sqrt{3-y^{2}}\,dy. \end{aligned}$$$$V={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}2\sqrt{3-y^2}\left(2-\frac{y}{\sqrt{3}}\right)dy$$$$=4{\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{3-y^2}dy-\frac{2}{\sqrt{3}}{\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}y\sqrt{3-y^2}dy.$$
第2項の被積分関数は奇関数で、対称区間での積分は $0$。第1の積分は半径 $\sqrt{3}$ の半円の面積なので $\frac{1}{2}\pi(\sqrt{3})^{2}=\frac{3\pi}{2}$。よって $V=4\cdot\frac{3\pi}{2}=6\pi$。

以上より、求める体積は $(1)$ $2$、$(2)$ $6$、$(3)$ $6\pi$ である。いずれも正であり、$(3)$ は円柱全体の体積 $9\pi$ 以下である。