1鹿児島大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) 余弦定理で垂線の足の位置を確かめ、三平方の定理を用いた。
(2) 整数条件を約数条件に置き換えた。
(3) 組合せで全体を数え、タレスの定理とその逆で直角三角形を数えた。

(1) 余弦定理より、
$$\cos B=\frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2AB\cdot BC}=\frac{25+81-36}{2\cdot5\cdot9}=\frac79>0.$$
したがって、垂線の足 $H$ は $B$ から $C$ へ向かう半直線上にあり、
$$BH=AB\cos B=5\cdot\frac79=\frac{35}{9}<9=BC$$
より $H$ は辺 $BC$ 上にある。直角三角形 $ABH$ で三平方の定理を用いると、
$$AH^2=AB^2-BH^2=25-\left(\frac{35}{9}\right)^2=\frac{800}{81},\qquad AH=\frac{20\sqrt2}{9}.$$

(2) 条件式を整理すると、
$$b(a+1)=4a,\qquad b=4-\frac{4}{a+1}.$$
$a,b$ は正の整数で $a+1\geqq2$ だから、$b$ が整数であるためには $a+1$ が $4$ の正の約数でなければならない。よって $a+1=2,4$ であり、それぞれ $a=1,b=2$、$a=3,b=3$ を得る。どちらも元の式を満たすので、求める組は $(a,b)=(1,2),(3,3)$ である。

(3) 頂点 $2n$ 個から異なる3頂点を選べば三角形が一つ定まるので、作り方は
$${}_{2n}\mathrm{C}_{3}$$
通りである。正 $2n$ 角形の外接円には直径が $n$ 本あり、直径の両端を選び、残る $2n-2$ 頂点から1点を選ぶと、直径を斜辺とする直角三角形ができる（タレスの定理）。逆に、円に内接する直角三角形では、直角の対辺は外接円の直径である（タレスの定理の逆）。したがって各直角三角形はただ一度数えられ、その個数は $n(2n-2)$ 通りである。よって
$$p=\frac{n(2n-2)}{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}}=\frac{2n(n-1)}{(2n)(2n-1)(2n-2)/6}=\frac{3}{2n-1}.$$