2東京慈恵会医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

微分可能性は差商の左右極限で判定する。最大値は平方差を完全平方にして上界と等号成立点を確認し、最後は囲まれた領域を円板法で回転体積に直して積分する。

(1) $f(-a)=0$ である。$h\ne0$ に対する差商は
$$\frac{f(-a+h)-f(-a)}{h}=\frac{|h|}{h\sqrt{(-a+h)^2+1}}.$$
$h>0$ から近づけると $\frac1{\sqrt{a^2+1}}$、$h<0$ から近づけると $-\frac1{\sqrt{a^2+1}}$ に近づく。$a>0$ なのでこれらは異なり、$f$ は $x=-a$ で微分可能ではない。

(2) 任意の実数 $x$ について
$$(a^2+1)(x^2+1)-(x+a)^2=(ax-1)^2\geqq0.$$
$x^2+1>0$ なので両辺を $x^2+1$ で割り、平方根をとると
$$f(x)=\frac{|x+a|}{\sqrt{x^2+1}}\leqq\sqrt{a^2+1}.$$
等号は $ax=1$、すなわち $x=\frac1a$ のときに成立する。この $x$ は実数であるから、最大値は実際に $\sqrt{a^2+1}$ である。これが $\sqrt2$ となる条件は $a^2+1=2$。$a>0$ より $a=1$ である。

(3) $a=1$ のとき、グラフと $x$ 軸の交点は $x=-1$、$y$ 軸との交点は $x=0$ である。したがって囲まれた部分の $x$ の範囲は $-1\leqq x\leqq0$ であり、この範囲では $|x+1|=x+1$。回転体の断面を円板として
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_{-1}^{0}f(x)^2\,dx =\pi\int_{-1}^{0}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\,dx\\ &=\pi\int_{-1}^{0}\left(1+\frac{2x}{x^2+1}\right)dx =\pi\left[x+\log(x^2+1)\right]_{-1}^{0} =\pi(1-\log2). \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_{-1}^{0}f(x{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-1}^0\frac{(x+1{)}^2}{x^2+1}dx$$$$=\pi {\int }_{-1}^0\left(1+\frac{2x}{x^2+1}\right)dx=\pi {\left[x+\log (x^2+1)\right]}_{-1}^0=\pi (1-\log 2).$$
検算として、被積分関数 $(x+1)^2/(x^2+1)$ は$-1\leqq x\leqq0$ の範囲で非負であり、得られた体積 $\pi(1-\log2)$ も正である。