2兵庫医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

濃度 $a\%$ の食塩水 $200\,\mathrm{g}$ が入っている容器Aと、濃度 $b\%$ の食塩水 $300\,\mathrm{g}$ が入っている容器Bがある。Aより $100\,\mathrm{g}$ の食塩水をとってそれをBに移し、よくかき混ぜた後に同量をAに戻すとする。この操作を $n$ 回繰り返したときのAとBの食塩水の濃度を求めたい。以下の問いに答えよ。なお、途中の式や考え方等も記入すること。

(1) 容器Aと容器Bに最初にあった食塩の量の和を求めよ。

(2) $n\ (\geqq1)$ 回の操作の後、容器Aの濃度が $x_{n}\%$、容器Bの濃度が $y_{n}\%$ になっていたとする。$x_{n}$ および $y_{n}$ を、それぞれ、$x_{n-1}$ と $y_{n-1}$ を用いて表したい。以下の $\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{エ}}$ に適当な数を入れよ。
$$\begin{cases} x_{n}=\boxed{\text{ア}}\,x_{n-1}+\boxed{\text{イ}}\,y_{n-1}\\ y_{n}=\boxed{\text{ウ}}\,x_{n-1}+\boxed{\text{エ}}\,y_{n-1} \end{cases}$$

(3) この操作を何回繰り返した後でも、容器Aと容器Bの食塩の量の和は一定であることを、(2) の漸化式を使って示せ。

(4) $x_{n}$ および $y_{n}$ を、それぞれ、$a,\,b,\,n$ を用いて表せ。

(5) 上記の操作を限りなく繰り返したとき、容器Aと容器Bの食塩水の濃度は、どのような値に近づくか、それぞれ求めよ。