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兵庫医科大学／2025年度／一般

1兵庫医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

指数関数・対数関数微分法場合の数と確率三角関数図形の性質

難易度必答 レベル 4/10 目安 25分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

兵庫医科大学2025年度第1問
次の (1) から (5) までの各問いに答えよ。なお、途中の式や考え方等も記入すること。

(1) 不等式 log⁡4∣x−1∣+2>log⁡2x\log_{4}|x-1|+2>\log_{2}x を解け。

(2) 関数 y=eaxsin⁡bxy=e^{ax}\sin bx は方程式 y′′−2y′+5y=0y''-2y'+5y=0 を満たす。実数の定数 a, ba,\,b の値を求めよ。

(3) 以下のそれぞれの場合、x, y, zx,\,y,\,z の整数解の組の総数を求めよ。

(a) 方程式 x+y+z=20x+y+z=20 を満たす0以上の整数 x, y, zx,\,y,\,z の組

(b) 方程式 x+y+z=20x+y+z=20 を満たす1以上の整数 x, y, zx,\,y,\,z の組

(4) 0≦x<π0\leqq x<\pi、0≦y<π0\leqq y<\pi、x−y=π3x-y=\dfrac{\pi}{3} のとき、sin⁡2x+cos⁡2y\sin^{2}x+\cos^{2}y の最大値、最小値と、そのときの xx の値を求めよ。

(5) 正方形ABCDがあり、辺ABを斜辺にもつ直角三角形ABFが正方形の外側にある。正方形の対角線の交点をE、AF=6\mathrm{AF}=6、BF=8\mathrm{BF}=8 のとき、線分EFの長さを求めよ。

出典：兵庫医科大学 2025年度 一般 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    0<x<45−80<x<4\sqrt{5}-8、8−43<x<8+438-4\sqrt{3}<x<8+4\sqrt{3}
  • (2)
    a=1, b=±2a=1,\ b=\pm2
  • (3)
    (a) 231 組　(b) 171 組
  • (4)
    最大値 1+321+\dfrac{\sqrt{3}}{2}（x=5π12x=\dfrac{5\pi}{12}）、最小値 1−321-\dfrac{\sqrt{3}}{2}（x=11π12x=\dfrac{11\pi}{12}）
  • (5)
    EF=72\mathrm{EF}=7\sqrt{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) は底を2にそろえ、x>1x>1 と 0<x<10<x<1 で絶対値を外す。(2) は代入して sin⁡bx\sin bx、cos⁡bx\cos bx の係数を0にする。(3) は重複組合せ。(4) は y=x−π3y=x-\dfrac{\pi}{3} を代入して半角・和積で1つの sin⁡\sin にまとめる。(5) は A, E, B, F が AB を直径とする円の上にあるので、トレミーの定理が使える。

解答

(1) 真数条件から x>0x>0、x≠1x\neq1。log⁡4∣x−1∣=12log⁡2∣x−1∣\log_{4}|x-1|=\dfrac{1}{2}\log_{2}|x-1| より、不等式は log⁡216∣x−1∣>log⁡2x2\log_{2}16|x-1|>\log_{2}x^{2}、すなわち 16∣x−1∣>x216|x-1|>x^{2}。
x>1x>1：x2−16x+16<0x^{2}-16x+16<0、8−43<x<8+438-4\sqrt{3}<x<8+4\sqrt{3}（8−43>18-4\sqrt{3}>1）。
0<x<10<x<1：x2+16x−16<0x^{2}+16x-16<0、0<x<45−80<x<4\sqrt{5}-8（45−8<14\sqrt{5}-8<1）。

(2) y′=eax(asin⁡bx+bcos⁡bx)y'=e^{ax}(a\sin bx+b\cos bx)、y′′=eax{(a2−b2)sin⁡bx+2abcos⁡bx}y''=e^{ax}\{(a^{2}-b^{2})\sin bx+2ab\cos bx\}。代入して
(a2−b2−2a+5)sin⁡bx+2b(a−1)cos⁡bx=0. (a^{2}-b^{2}-2a+5)\sin bx+2b(a-1)\cos bx=0 .
b=0b=0 なら yy は恒等的に0で意味がないので b≠0b\neq0。すべての xx で成り立つには a=1a=1、a2−b2−2a+5=4−b2=0a^{2}-b^{2}-2a+5=4-b^{2}=0。よって a=1a=1、b=±2b=\pm2。

(3) (a) 20個の○と2本の仕切りの並べ方で 22C2=231{}_{22}\mathrm{C}_{2}=231。(b) x′=x−1x'=x-1 などとおくと和が17の0以上の組で 19C2=171{}_{19}\mathrm{C}_{2}=171。

(4) y=x−π3y=x-\dfrac{\pi}{3} で、条件から π3≦x<π\dfrac{\pi}{3}\leqq x<\pi。
sin⁡2x+cos⁡2y=1+cos⁡(2x−2π3)−cos⁡2x2=1+32sin⁡(2x−π3). \sin^{2}x+\cos^{2}y=1+\dfrac{\cos\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)-\cos2x}{2}=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right).
π3≦2x−π3<5π3\dfrac{\pi}{3}\leqq2x-\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{5\pi}{3} なので、最大値 1+321+\dfrac{\sqrt{3}}{2}（2x−π3=π22x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}、x=5π12x=\dfrac{5\pi}{12}）、最小値 1−321-\dfrac{\sqrt{3}}{2}（2x−π3=3π22x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{2}、x=11π12x=\dfrac{11\pi}{12}）。

(5) AB=10\mathrm{AB}=10、AE=BE=52\mathrm{AE}=\mathrm{BE}=5\sqrt{2}。∠AFB=∠AEB=90∘\angle\mathrm{AFB}=\angle\mathrm{AEB}=90^{\circ} なので、A, E, B, F はABを直径とする円の上にあり、EとFはABについて反対側にある。四角形AEBFでトレミーの定理より
AE⋅BF+EB⋅AF=AB⋅EF,52(8+6)=10 EF. \mathrm{AE}\cdot\mathrm{BF}+\mathrm{EB}\cdot\mathrm{AF}=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{EF},\qquad 5\sqrt{2}(8+6)=10\,\mathrm{EF}.
よって EF=72\mathrm{EF}=7\sqrt{2}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 対数不等式
  • 重複組合せ
  • 三角関数の合成
  • トレミーの定理

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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