2兵庫医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(2) は直線 $y=j$ ごとに数える（$j^{2}\leqq x\leqq n^{2}$）。(3)(a) は辺上の格子点を最大公約数で数え、内部はピックの定理か、$y=k$ ごとに数える。(b) は $\angle\mathrm{OAB}=90^{\circ}$ に気づくと外心は斜辺OBの中点。

(1) $x=0,1,2,3,4$ で $y$ は $1,2,2,2,3$ 個。計10個。

(2) $y=j$（$0\leqq j\leqq n$）の上の格子点は $j^{2}\leqq x\leqq n^{2}$ の $n^{2}-j^{2}+1$ 個。
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(n^{2}+1-j^{2})=(n+1)(n^{2}+1)-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{(n+1)(4n^{2}-n+6)}{6}.$$
（$n=2$ で10となり (1) と合う。）

(3)(a) 面積は $\dfrac{1}{2}\cdot10n\cdot3n=15n^{2}$。辺上の格子点（頂点を1回ずつ）は、OAが $n$ 区間、ABが $\gcd(9n,\,3n)=3n$ 区間、BOが $10n$ 区間で、周上に $14n$ 個。ピックの定理より内部は $15n^{2}-\dfrac{14n}{2}+1=15n^{2}-7n+1$ 個。合計 $15n^{2}+7n+1$ 個。

(b) $\mathrm{OA}=\sqrt{10}\,n$、$\mathrm{AB}=3\sqrt{10}\,n$、$\mathrm{OB}=10n$。内心は各頂点を向かい合う辺の長さで重み付けした平均で
$$\mathrm{I}=\dfrac{3\sqrt{10}\,n\cdot\mathrm{O}+10n\cdot\mathrm{A}+\sqrt{10}\,n\cdot\mathrm{B}}{(10+4\sqrt{10})n}=\dfrac{n(10+10\sqrt{10},\,30)}{10+4\sqrt{10}}=\left((5-\sqrt{10})n,\ (2\sqrt{10}-5)n\right).$$
（内接円の半径 $\dfrac{2\cdot15n^{2}}{(10+4\sqrt{10})n}=(2\sqrt{10}-5)n$ と $y$ 座標が一致する。）
$\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-n)(9n)+(-3n)(-3n)=0$ なので $\angle\mathrm{OAB}=90^{\circ}$。外心は斜辺OBの中点で $\mathrm{O}_{1}(5n,\,0)$。