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兵庫医科大学／2024年度／一般

1兵庫医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

ベクトル場合の数と確率図形の性質平面上の曲線と複素数平面三角関数

難易度必答 レベル 4/10 目安 25分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

兵庫医科大学2024年度第1問
次の (1) から (5) までの各問いに答えよ。なお、途中の式や考え方等も記入すること。

(1) 2点 A(a⃗)\mathrm{A}(\vec{a})、B(b⃗)\mathrm{B}(\vec{b}) が条件 2∣a⃗∣=3∣b⃗∣≠02|\vec{a}|=3|\vec{b}|\neq0 を満たし、a⃗\vec{a} と b⃗\vec{b} のなす角は 60∘60^{\circ} である。このとき、直線AB上にあり、原点から最も近い点 P(p⃗)\mathrm{P}(\vec{p}) について、p⃗\vec{p} を a⃗\vec{a} と b⃗\vec{b} を用いて表せ。

(2) 誕生月を考える。任意に5人を選んだところ、少なくとも2人以上が同じ誕生月である確率を求めよ。ただし、1月から12月まで、どの月に生まれるかは同様に確からしいとする。

(3) 図において、4点A, B, C, Dは同一円周上にあり、直線BAと直線CDの交点をEとする。∠AED=36∘\angle\mathrm{AED}=36^{\circ} で、弧AB、弧BCおよび弧CDはすべて長さが等しいとき、∠ACD\angle\mathrm{ACD} の大きさを求めよ。（図：円の外の点Eから引いた2本の直線が、円と A, B および D, C で交わる。Eに近い方がA, D。）

(4) 複素数平面上の点 zz に対して、w=(1+2i)(z+2)w=(1+2i)(z+2) で表される点 ww がある。点 zz が単位円上を動くとき、∣w+1∣|w+1| の最大値を求めよ。

(5) 0≦x<2π0\leqq x<2\pi のとき、関数 f(x)=2sin⁡2xsin⁡x+3sin⁡2x+4cos⁡2x2f(x)=2\sin2x\sin x+3\sin^{2}x+4\cos^{2}\dfrac{x}{2} の最大値と最小値、およびそのときの xx の値を求めよ。

出典：兵庫医科大学 2024年度 一般 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    p⃗=17a⃗+67b⃗\vec{p}=\dfrac{1}{7}\vec{a}+\dfrac{6}{7}\vec{b}
  • (2)
    89144\dfrac{89}{144}
  • (3)
    ∠ACD=18∘\angle\mathrm{ACD}=18^{\circ}
  • (4)
    5+55+\sqrt{5}
  • (5)
    最大値 274\dfrac{27}{4}（x=π3, 5π3x=\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{3}）、最小値 00（x=πx=\pi）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) は p⃗⊥AB→\vec{p}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}。(2) は余事象。(3) は円外の点での角＝（遠い弧−近い弧）÷2。(4) は w+1=(1+2i)z+(3+4i)w+1=(1+2i)z+(3+4i) で三角不等式。(5) は cos⁡x\cos x の3次関数になる。

解答

(1) ∣a⃗∣=3k|\vec{a}|=3k、∣b⃗∣=2k|\vec{b}|=2k（k>0k>0）とおくと a⃗⋅b⃗=3k2\vec{a}\cdot\vec{b}=3k^{2}、∣b⃗−a⃗∣2=7k2|\vec{b}-\vec{a}|^{2}=7k^{2}。p⃗=a⃗+t(b⃗−a⃗)\vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}) が最も原点に近いのは p⃗⋅(b⃗−a⃗)=0\vec{p}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=0 のときで
t=∣a⃗∣2−a⃗⋅b⃗∣b⃗−a⃗∣2=9−37=67. t=\dfrac{|\vec{a}|^{2}-\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}-\vec{a}|^{2}}=\dfrac{9-3}{7}=\dfrac{6}{7}.
よって p⃗=17a⃗+67b⃗\vec{p}=\dfrac{1}{7}\vec{a}+\dfrac{6}{7}\vec{b}。

(2) 5人の誕生月がすべて異なる確率は 12⋅11⋅10⋅9⋅8125=55144\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{12^{5}}=\dfrac{55}{144}。よって 1−55144=891441-\dfrac{55}{144}=\dfrac{89}{144}。

(3) 弧AB、BC、CDの中心角を xx とすると、Eを含まない側の弧ADは 360∘−3x360^{\circ}-3x。円外の点Eでの角は ∠AED=12(弧BC−弧AD)\angle\mathrm{AED}=\dfrac{1}{2}(\text{弧BC}-\text{弧AD}) なので 12{x−(360∘−3x)}=36∘\dfrac{1}{2}\{x-(360^{\circ}-3x)\}=36^{\circ}、x=108∘x=108^{\circ}。弧ADは 36∘36^{\circ} で、∠ACD\angle\mathrm{ACD} はこの弧に対する円周角だから 18∘18^{\circ}。

(4) w+1=(1+2i)z+(3+4i)w+1=(1+2i)z+(3+4i)。∣z∣=1|z|=1 より
∣w+1∣≦∣1+2i∣∣z∣+∣3+4i∣=5+5, |w+1|\leqq|1+2i||z|+|3+4i|=\sqrt{5}+5,
等号は (1+2i)z(1+2i)z と 3+4i3+4i の向きがそろう zz で成り立つ。最大値は 5+55+\sqrt{5}。

(5) c=cos⁡xc=\cos x とおくと 2sin⁡2xsin⁡x=4c(1−c2)2\sin2x\sin x=4c(1-c^{2})、4cos⁡2x2=2+2c4\cos^{2}\dfrac{x}{2}=2+2c で
f=g(c)=−4c3−3c2+6c+5(−1≦c≦1). f=g(c)=-4c^{3}-3c^{2}+6c+5\quad(-1\leqq c\leqq1).
g′(c)=−6(2c−1)(c+1)g'(c)=-6(2c-1)(c+1) より gg は −1≦c≦12-1\leqq c\leqq\dfrac{1}{2} で増加、12≦c≦1\dfrac{1}{2}\leqq c\leqq1 で減少。g(12)=274g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{27}{4}、g(−1)=0g(-1)=0、g(1)=4g(1)=4。
最大値 274\dfrac{27}{4}（cos⁡x=12\cos x=\dfrac{1}{2}：x=π3, 5π3x=\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{3}）、最小値 00（cos⁡x=−1\cos x=-1：x=πx=\pi）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 垂線の足
  • 余事象
  • 円周角と弧
  • 三角不等式
  • 3次関数の最大・最小

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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