2北海道大学 2023年 数学 第2問解答・解説

球の中心 $P$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。平面と球面の交わりの円上の任意の点 $X$ に対し、$PH\perp HX$ より $PX^2=PH^2+HX^2=9^2$ である。$PH$ は一定なので $HX$ も一定となり、交円の中心は $H$ である。中心が $A$ と与えられているから $H=A$、従って $PA\perp\alpha$。

(1) $A,B$ は交円上にあり $PB=9$。また $AB$ は $\alpha$ 上にあるため $PA\perp AB$。座標から
$$AB^2=(4-1)^2+(2-(-4))^2+(1-1)^2=45, \qquad AP^2=PB^2-AB^2=9^2-45=36.$$
よって $AP=6$。

(2) $\overrightarrow{AB}=(-3,-6,0)$、$\overrightarrow{AC}=(-2,0,-2)$ とする。$\alpha$ の法線ベクトルを $\vec{n}=(u,v,w)$ とすると、$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$、$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ から $u+2v=0$、$u+w=0$。従って $\vec{n}=(2,-1,-2)$ とでき、$|\vec{n}|=3$。$P$ は $A$ を通る法線上にあり、$AP=6$ より
$$P=A\pm2\vec{n}=(8,0,-3),\ (0,4,5).$$
$P$ の $z$ 座標が正なので $P=(0,4,5)$。

(3) $\overrightarrow{OC}=(2,2,-1)$ とし、直線 $OC$ 上の点を $X=t(2,2,-1)$ とおく。球面上では $PX=9$ だから
$$(2t)^2+(2t-4)^2+(-t-5)^2=81, \qquad 9t^2-6t-40=0.$$
従って $t=\frac{1\pm\sqrt{41}}{3}$。また $|OC|=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=3$ なので、交点間の距離は
$$\left|\frac{1+\sqrt{41}}3-\frac{1-\sqrt{41}}3\right|\cdot3=2\sqrt{41}.$$