5広島大学 2025年 数学 第5問解答・解説

$w_{n}=z_{n}-i$とおく。この置き換えで初項と漸化式は
$$w_1=\sqrt3+i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right), \qquad w_{n+1}=2w_n^2$$
となる。つまり各回、絶対値は「2倍して二乗」、偏角は2倍になる。

(1) $w_2=2w_1^2$ だから絶対値は $2\cdot2^2=8$、偏角は $2\cdot\pi/6=\pi/3$。次に $w_3=2w_2^2$ だから絶対値は $2\cdot8^2=128$、偏角は $2\pi/3$。したがって
$$z_2-i=8\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right),\qquad z_3-i=128\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right).$$

(2) $w_n=r_n(\cos\theta_n+i\sin\theta_n)$ とおく。漸化式から
$$r_1=2,\quad r_{n+1}=2r_n^2,\qquad \theta_1=\frac{\pi}{6},\quad \theta_{n+1}=2\theta_n.$$
$L_n=\log_2r_n$ とすれば $L_1=1$、$L_{n+1}=1+2L_n$。初項と漸化式を確認すると $L_n=2^n-1$ が成り立つ（帰納法でも確かめられる）。よって
$$\log_2r_n=2^n-1,\qquad \theta_n=2^{n-1}\frac{\pi}{6}.$$

(3) $r_n=2^{2^n-1}$ と(2)の偏角を極形式へ戻し、$z_n=w_n+i$ とすれば
$$z_n=i+2^{2^n-1} \left(\cos\frac{2^{n-1}\pi}{6}+i\sin\frac{2^{n-1}\pi}{6}\right).$$

(4) $n=3,5,2025$ では $n-2$ は正の奇数である。正の奇数 $k$ に対して $2^k$ は6で割ると2余るので、これらのnでは
$$\theta_n=2^{n-2}\frac{\pi}{3}\equiv\frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}.$$
したがって $w_n=r_n(\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3))$。点 $P_n$ の座標を $(x_n,y_n)$ とすると
$$x_n=-\frac{r_n}{2},\qquad y_n=1+\frac{\sqrt3r_n}{2},$$
ゆえに $y_n-1=-\sqrt3x_n$。3点はすべて直線 $y-1=-\sqrt3x$ 上にある。さらに $r_3=2^7$、$r_5=2^{31}$ なので異なる2点を含み、この直線が定まる。