2群馬大学 2024年 数学 第2問解答・解説

結論：(1) $R(x)=x^2+2px+p+2$、$S(x)=(1-p)x-2p+q$。(2) $R(\alpha)=S(\alpha)=0$ であるための必要十分条件は $A(\alpha)=B(\alpha)=0$。(3) $q=\pm4$。(4) $-1<p<2$、$(p,q)=(1,2)$。

AをBで割ると
$$A(x)=xB(x)+R(x)$$
となり、引き算から
$$R(x)=x^2+2px+p+2.$$
さらにBをRで割ると
$$B(x)=xR(x)+S(x)$$
となるので
$$S(x)=(1-p)x-2p+q.$$

(2) 任意の複素数 $\alpha$ に対して
$$A(\alpha)=\alpha B(\alpha)+R(\alpha),\qquad B(\alpha)=\alpha R(\alpha)+S(\alpha).$$
従って $A(\alpha)=B(\alpha)=0$ なら $R(\alpha)=S(\alpha)=0$。逆に $R(\alpha)=S(\alpha)=0$ なら上の第2式から $B(\alpha)=0$、第1式から $A(\alpha)=0$ であり、必要十分条件が成り立つ。

(3) $p=3$ のとき
$$R(x)=x^2+6x+5=(x+1)(x+5),\qquad S(x)=-2x+q-6.$$
(2)よりA,Bが共通解をもつのはR,Sが共通解をもつときに限る。Rの根は $-1,-5$ なので
$$S(-1)=0\text{であるための必要十分条件は} q=4,\qquad S(-5)=0\text{であるための必要十分条件は} q=-4.$$
従って $q=4,-4$。

(4) Rの判別式は
$$\Delta=(2p)^2-4(p+2)=4(p+1)(p-2).$$
実数解がない条件は $\Delta<0$ だから
$$-1<p<2.$$
この範囲ではRの根は非実数である。$p\ne1$ ならSは一次式で、その唯一の根 $x=(2p-q)/(1-p)$ は実数（p,qは実数）なので、RとSは共通根をもたない。$p=1$ では $S(x)=q-2$ という定数式であり、Rと共通根をもつのは $q=2$ のときに限る。この組 $(p,q)=(1,2)$ は $-1<p<2$ を満たす。