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岐阜大学／2026年度

5岐阜大学 2026年 数学 第5問解答・解説

図形と方程式微分法平面上の曲線と複素数平面

1問題

岐阜大学2026年度第5問
Oを原点とするxy平面上で曲線 H:x2−y2=−1(y>0)H:x^2-y^2=-1\quad(y>0) を考える。H上の点 A(a,b)A(a,b) におけるHの接線を ℓ\ell とする。また、直線 ℓ\ell と直線 y=−xy=-x との交点をPとし、ℓ\ell と直線 y=xy=x との交点をQとする。以下の問に答えよ。

(1) x2−y2=−1(y>0)x^2-y^2=-1\quad(y>0) で定められる xx の関数 yy について、導関数 dydx\dfrac{dy}{dx} を xx と yy を用いて表せ。

(2) ℓ\ell の方程式は ax−by=−1ax-by=-1 であることを示せ。

(3) PとQの座標を aa と bb を用いてそれぞれ表せ。

(4) △OPQの面積は曲線H上の点Aの位置によらず一定になることを示せ。

(5) 点Aが曲線H上を動くとき、線分PQの長さの最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    dydx=xy\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}。
  • (2)
    ℓ:ax−by=−1\ell:ax-by=-1。
  • (3)
    P=(−1a+b,1a+b)P=\left(-\frac1{a+b},\frac1{a+b}\right), Q=(1b−a,1b−a)Q=\left(\frac1{b-a},\frac1{b-a}\right)。
  • (4)
    △OPQ\triangle OPQの面積11。
  • (5)
    ∣PQ∣|PQ|の最小値22、A=(0,1)A=(0,1)で達成。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

曲線 H:x2−y2=−1 (y>0)H:x^2-y^2=-1\ (y>0) 上では b2−a2=1b^2-a^2=1 である。したがって b>∣a∣b>|a| より
u:=a+b>0,v:=b−a>0,uv=1. u:=a+b>0,\qquad v:=b-a>0,\qquad uv=1.

(1) x2−y2=−1x^2-y^2=-1 を xx で微分すると
2x−2ydydx=0. 2x-2y\frac{dy}{dx}=0.
y>0y>0 なので
dydx=xy. \boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}}.

(2) Aでの接線の傾きは a/ba/b。よって
y−b=ab(x−a)すなわちax−by=a2−b2=−1, y-b=\frac{a}{b}(x-a) \quad\text{すなわち}\quad ax-by=a^2-b^2=-1,
したがって ℓ:ax−by=−1\boxed{\ell:ax-by=-1}。

(3) Pは y=−xy=-x 上にあるから uxP=−1u x_P=-1。Qは y=xy=x 上にあるから vxQ=1v x_Q=1。ゆえに
P=(−1u,1u)=(−1a+b,1a+b),Q=(1v,1v)=(1b−a,1b−a). \boxed{P=\left(-\frac1u,\frac1u\right) =\left(-\frac1{a+b},\frac1{a+b}\right)},\qquad \boxed{Q=\left(\frac1v,\frac1v\right) =\left(\frac1{b-a},\frac1{b-a}\right)}.

(4) 直線 OPOP は傾き −1-1、直線 OQOQ は傾き 11 なので直交する。また OP=2/uOP=\sqrt2/u、OQ=2/vOQ=\sqrt2/v。したがって
[OPQ]=12 OP⋅OQ=12⋅2u⋅2v=1uv=1. [OPQ]=\frac12\,OP\cdot OQ =\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{u}\cdot\frac{\sqrt2}{v} =\frac1{uv}=\boxed{1}.

(5) P,Qの座標差から
∣PQ∣2=(1u+1v)2+(1v−1u)2=2(1u2+1v2)=2(u2+v2), \begin{aligned} |PQ|^2 &=\left(\frac1u+\frac1v\right)^2+ \left(\frac1v-\frac1u\right)^2\\ &=2\left(\frac1{u^2}+\frac1{v^2}\right) =2(u^2+v^2), \end{aligned}
ここで uv=1uv=1 を用いた。さらに
u2+v2−2=(u−v)2≧0. u^2+v^2-2=(u-v)^2\geqq0.
ゆえに ∣PQ∣2≧4|PQ|^2\geqq4。等号は u=v=1u=v=1、すなわち a=0,b=1a=0,b=1 のときに実現し、この点はH上にある。したがって
min⁡∣PQ∣=2. \boxed{\min |PQ|=2}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 暗黙微分
  • 接線の点傾き式
  • 連立一次方程式
  • 直角三角形の面積
  • 距離の二乗と平方の非負性

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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