2福島県立医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) 中点の座標は
$$D\left(\frac{4+8}{2},\frac{12+0}{2}\right)=(6,6),\qquad E\left(\frac{4-8}{2},\frac{12+0}{2}\right)=(-2,6).$$
直線 $DE$ は $y=6$。これと $x$ 軸の両方に接する円の半径は $3$、中心の $y$ 座標は $3$ だから、指定された中心は $(\sqrt5,3)$ であり
$$T:\ (x-\sqrt5)^2+(y-3)^2=9.$$

(2) $DA=DB=\sqrt{(-2)^2+6^2}=2\sqrt{10}$、$EA=EC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2$。軸 $DE$ のまわりの回転はD,Eからの距離を保つので、必要条件は
$$DH=2\sqrt{10},\qquad EH=6\sqrt2.$$
逆にこれらの距離が等しければ、直線 $DE$ に沿うHの位置と軸からの距離がAと一致する。したがって軸回転でAをHに移せ、この条件は十分でもある。

(3) 折り上げ後にA,B,Cが同じGに重なるには、$DG=DA=DB=2\sqrt{10}$、$EG=EA=EC=6\sqrt2$、さらに $FG=BF=CF$ が必要である。$BF=CF$ よりFは直線 $x=0$ 上にある。円Tとの交点は $F=(0,1),(0,5)$。

$F=(0,1)$ では $BF^2=65$。G=(x,y,z)に距離条件を課すと
$$(x-6)^2+(y-6)^2+z^2=40,\quad (x+2)^2+(y-6)^2+z^2=72,$$
より $x=4$、$(y-6)^2+z^2=36$。また $GF^2=65$ から $(y-1)^2+z^2=49$ となり、$y=24/5$、$z^2=864/25$。従って
$$G=\left(4,\frac{24}{5},\frac{12\sqrt6}{5}\right),\quad \left(4,\frac{24}{5},-\frac{12\sqrt6}{5}\right).$$

$F=(0,5)$ では $BF^2=89$。同様に $x=4$、$(y-6)^2+z^2=36$、$(y-5)^2+z^2=73$ となるため $y=24$ が必要だが、これを最初の式に代入すると $z^2<0$。よってこのFでは実数のGはなく、上記二点がすべてである。