1福島県立医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$6^{4}=1296=3^{6}+2\cdot3^{5}+3^{4}$ だから、$1296=1210000_{(3)}$ である。

(2)

まず 7 桁未満を数える。$k$ 桁（$2\leqq k\leqq6$）で、先頭が 1 なら残りから数字 1 を置く桁を $k-1$ 通り選び、他の $k-2$ 桁は 0 または 2 なので $(k-1)\cdot2^{k-2}$ 個。先頭が 2 なら残り $k-1$ 桁から 1 を 2 個置く位置を選び、残りは 0 または 2 なので ${}_{k-1}\mathrm{C}_{2}\cdot2^{k-3}$ 個（$k=2$ は $11_{(3)}$ の 1 個）。$k=2,\,3,\,4,\,5,\,6$ の個数は順に $1,\,5,\,18,\,56,\,160$、計 240 である。

7 桁で $1296$ 以下なら先頭桁は 1 で、残り 6 桁は $210000_{(3)}$ 以下である。先頭の 1 のほかに 1 をちょうど 1 個置く場合を、上限との桁比較で数える。残り 6 桁の先頭が 0 なら、後 5 桁に 1 を置く位置が 5 通りで、他 4 桁は 0 か 2 なので $5\cdot2^{4}=80$ 個。先頭が 1 なら上限より小さく、後 5 桁は 0 か 2 のみなので $2^{5}=32$ 個。先頭が 2 なら次の桁は 0 か 1 である。0 なら後 4 桁に 1 を置く位置が 4 通りで $4\cdot2^{3}=32$ 個。1 なら上限と一致するため後 4 桁はすべて 0 に限られ、1 個。したがって 7 桁は $80+32+32+1=145$ 個。
先頭が 2 の 7 桁の数は上限を超える。合計は $240+145=385$ 個。